4-ma’ruza Nanostrukturalarda fundamental elektron hodisalar I

4.2. Kvant chegaralanishi.
Fazoviy kvantlanish qonuniyatlari:
Erkin elektronlar uchun Shredinger tenglamasi

Y
echimi -to’lqin vektori, elektronlarning energiyasi

N
o’rmaga keltirilganda

L-namunaning o’lchami (kub shaklida deb hisoblaymiz)
Qachon kvant effeklari sezilarli bo’ladi?

1. 
   Qo’shni diskret energetik sathlar orasidagi masofa E_n-E_n-1 issiqlik energiyasi kT dan katta bo’lishi kerak: E_n-E_n-1> kT
   

2. Qo’shni diskret energetik sathlar orasidagi masofa E_n-E_n-1 Fermi
energiyasi E_F dan katta bo’lishi kerak: E_n-E_n-1> E_F

3. 
   Elektronlarning sochilishi hisobiga energetik sathlarning kengayishi ular orasidagi masofadan oshmasligi kerak:
   

ekanligini hisobga olsak, oldingi shart a << l ko’rinishga keladi.


Kvant o’ra – bu ikki o’lchamli (2D) ob’ektdir. Bu kristallning juda yupqa qatlami bo’lib, uning qalinligi d Broyl to’lqin uzunligi bilan solishtiradigan darajada bo’ladi, ya’ni d . Bunday qatlamdagi elektronlar tizimiga ikki o’lchamli elektronlar gazi (yoki 2D- gaz) deb ataladi.


Kvant o’ra qonuniyatlari:











H_n(x)- Ermit tenglamasini yechimi:



Ermit funksiyasi H_n(x) ning grafiklari (n = 1-10, [m*ω₀/ħ]^1/2 ga normirovka):













Birinchi sakkiz holatning koordinata ko'rinishidagi to'lqin funktsiyalari,
n = 0…7. X koordinatasi gorizontal, qiymat vertikal ravishda chiziladi
to'lqin funksiyasi ψn(x). Grafiklar standartlashtirilmagan

Fazoviy kvantlanish qonuniyatlari

To’lqin funksiyasining davriyligi tufayli uning argumenti x ni x + L ga almashtirsak hyech narsa o’zgarmaydi (Born-Karmanning chegara shartlari). Demak, to’lqin vektorining komponentlari kvantlangan:

Shunga mos ravishda to’lqin funksiyasi

elektronlarning energiyasi ham kvantlangan: