4-ma’ruza. Kinetik va potentsial energiya

P²(m₀c)²(mc)² (19)
tenglikni olamiz. Differentsiallagach
pdpc²dm (20)
va pdppdp, pmv ni hisobga olib vdpc²dm tenglikni olamiz.

Relyativstik mexanikada ish massa orttirmasi bilan aniqlanadi.
Amc²E
Moddiy nuqta (zarrachaning) to’la yoki relyativistik energiyasini
Emc²
bilan belgilaymiz. Bu holda
A₁₂E₂-E₁ (21)
moddiy nuqta tinch turganda energiya yoki tinch holatdagi energiyasi
Em₀c² (22)
bo’ladi. Kinetik energiya zarra harakatiga bog’liq bo’lgan relyativistik energiya qismidir.
(23)

Bajarilgan ishni kinetik energiya ayrimasi ko’rinishda yozish mumkin.

A₁₂E_k2-E_k1 (24)
tinch holatdagi E₀ va to’la relyativistik energiya E va impuls orasidagi munosabat.
E²E₀²(pc)² (25)
faqat elamentar zarralar uchungina to’g’ri bo’lmay, moddiy nuqtalar sistemasi uchun ham to’g’ri bo’ladi.

4.8. Potentsial energiya haqida tushuncha.

Potentsial energiya va kuch.
Sistemada faqat konservativ va giroskopik kuchlar ta’sir etsa, sistema uchun potentsial (lotincha potentia- imkoniyat so’zidan olingan) energiya tushunchasini tadbiq etish mumkin. Sistemaning material nuqtalari koordinatalarini xarakterlovchi biror holatini boshlan-g’ich (nol) holat deb olamiz.
a) Sistemaning potetsial energiyasi faqat uning koordinatalari funktsiyasidir. Potentsial energiya qiymati sistemaning qaysi holati boshlang’ich holat uchun qabul qilinishiga bog’liq bo’lib, u bir qiymatli emasdir. Shu sababli, sistemaning ikki holati orasidagi potentsial energiya farqi haqida fikr yuritiladi. Qaralayotgan va boshlang’ich holat orasidagi potentsial energiya farqi, sistemani qaralayotgan holatdan boshlang’ich holatga o’tishda konservativ kuchlar bajargan ishga teng bo’ladi.
Sistema 1 vaziyatdan 2 vaziyatga o’tishini A₁₂ ish , E_p1 va E_p2 potentsial energiyalar orqali
A₁₂E_p1-E_p2 (26)
tenglik yordamida ifodalanadi. (42-rasm). Demak, konservativ kuchlar ishi potetsial energiya kamayishiga tengdir. Potentsial energiya kamayishi kinetik energiya ortishiga teng ekanidan
E_k2-E_k1E_p1-E_p2 (27)
va bundan
E_tE_kE_p (28)
natijani olamiz. Faqat konservativ kuchlar mavjud sistemada to’la energiya o’zgarishsiz qoladi. Potentsial energiya kinetik energiga va aksincha aylanish bo’lishi mumkin, lekin to’la energiya o’zgarmaydi. Bu inergiyaning saqlanish qonunidir.
b) Bir jinsli tortishish maydonida potentsial energiya.
Jismning potentsial energiyasi jism va yer markazi orasidagi masofaga bog’liq bo’lib, nol sirt deb olingan nuqtadan yer markazigacha masofaga bog’liq potentsial energiya E bilan nol sirtdan h balandlikkacha oraliqqa bog’liq bo’lgan potentsial energiyalar yig’indisiga teng bo’ladi.
E_p  E_nh  E_p0 (29)
qaralayotgan misolimizda EE_phA o’rinlidir.
v) Deformatsiya potentsial energiyasi.
Deformatsiyalanmagan holda prujinaning elastik energiyasini nol deb olsak, uning elastik (potentsial) energiyasi
(30)
formula yordamida aniqlanadi.
g) Ikkita moddiy nuqta orasidagi gravitatsion tortishish potentsial energiyasi.
Gravitatsion kuch markaziy kuch bo’lganidan, u konservativ kuchdir va shuning uchun potentsial energiya to’g’risida gap yurita olamiz.
Odatda cheksiz masofada turuvchi jismlar orasidagi potentsial energiya E0 bo’ladi. Shu shartga ko’ra
(31)
Ikki jism orasidagi o’zaro tortishish kuchiga bog’liq potentsial energiya cheksizlikda E_pmaxE_p0 bo’lganidan, masofa kamaygan sari energiya maksimal qiymatdan kamayadi yoki u manfiydir.
Potentsial maydonning har bir nuqtasiga bir tomondan jismga ta’sir etuvchi F kuch vektorining biror qiymati mos kelsa, ikkinchi tomondan, jism E potetsial energiyasining ham biror qiymati mos keladi. Bundan jismga ta’sir etuvchi kuch bilan uning potentsial energiyasi orasida bog’lanish bo’lishi kerak. Shu bog’lanishni topish uchun jismni kichik S masofaga siljitilgan vaqtda maydon kuchlari bajargan elementar A ishni hisoblaylik. Bu S siljish fazoda ixtiyoriy tanlab olgan S yo’nalish bo’ylab sodir bo’ladi deb qabul qilamiz (3- rasm).
Bu ish quyidagiga teng:
AFsSFScos (32)
F_s- kuchning S yo’nalishga proektsiyasi. Bajarilgan ish potentsial energiya hisobiga bajarilgandan uning S yo’li kamayishiga teng bo’ladi.
A-E_p (33)
(15) va(16) ni solishtirib, quyidagini olamiz.
F_sS-E_p
bundan
(34)
(17) ifoda F_s kuchning S masofadagi o’rtacha qiymatini beradi. Berilgan nuqtadagi qiymati shu ifodadan S0 dagi limitini olish orqali topiladi.
(35)
Potentsial energiya S yo’nalishdagina emas boshqa yo’nalishlarda ham o’zgaradi. Shu sababli (35) ifoda E dan S yo’nalishi bo’yicha xususiy hosiladir.
(36)
(36) ifoda fazoviy koordinata sistemasining x,y,z o’qlari uchun ham to’g’ridir.
(37)
(37) ifodalar F kuch vektorining koordinata o’qlariga proektsiyalarini ifodalydi. Agar bu proektsiyalar ma’lum bo’lsa koordinata o’qlaridagi birlik vektorlarni i, j,k deb olsak (ular o’qlaridagi ortlar ham deyiladi) kuchni quydagicha yozamiz
(38)
(38) ifoda vektor ekanidan uni skalyar son E ning gradienti (grad) deyiladi va shunday belgilanadi
(39)
matematikada simvolik vektor qabul etilib, uni "nabla-operator" yoki "Gamilton operatori" deyiladi.
(40)
bundan
(41)
kelib chiqadi.

4.9. Kinetik energiya.

Jismning tekis harakat kinetik energiyasi.
a) Moddiy nuqta (jism yoki sistema) kuch ta’sirida tezligini o’zgartiradi, yoki tezlanish oladi. Kuchning qo’yilish nuqtasi ko’chadi, kuch ta’siri kelib chiqayotgan sistema ish bajaradi, harakatlanayotgan jism (sistema) energiyasi o’zgaradi. Kuch ta’sirda harakatlanayotgan jismning energiyasi kinetik (grekcha kinema-harakat so’zidan olingan) energiya deyiladi.
Jismning kinetik energiyasi kattaligini yoki harakat energiyasini jismning ushbu harakatini yuzaga keltirish uchun bajarilishi zarur bo’lgan ish kattaligi bo’yicha aniqlash mumkin. F kuch m massali jismga ta’sir qilsin va uning v₁ tezlikdagi holatidan v₂ tezlikkacha o’zgartirsin. Jism harakati tezligi bu kuch ta’sirida v₁ dan v₂ gacha (o’zgarguncha) t vaqtda S masofa bosib o’tgan bo’lsin. Bajarilgan ish kattaligi
(42)
bo’lib, Fconstant ekanidan, harakat tekis tezlanuvchan bo’ladi.
Tezlanish.
(43)
bo’lganidan, ta’sir etuvchi kuch kattaligi.
(44)
tenglamadan, bosib o’tilgan yo’lni esa,
(45)
tenglamadan topamiz (42), (44) va (45) ifodalaridan foydalanib bajarilgan ish uchun
(46)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Demak, bajarilgan ish energiyaning orttirmasiga son jihatidan teng ekan. Kinetik energiyani E_k bilan belgilasak,
E_kmv²2 (47)
va bundan foydalanib (47) ni
AE_k2-E_k1E_{k ,} AE_k (48)
ko’rinishda yozamiz.
Demak, ma’lum v tezlikda ketayotgan jismni to’xtatish uchun (v₂o) unga qarshi
AE_kmv²2
tenglik bilan aniqlanuvchi manfiy ish bajarish zarur.
b) Relyativistik mexanikada kinetik energiya. Relyativistik mexanikada jism massasi tezlikka bog’liq bo’lganidan
(49)
bajarilgan ishni hisoblashda
(50)
buni hisobga olmoq zarur. (1) ifoda vPm ni hisobga olib,