4. Demografik modellar

4.     Demografik modellar.

 

Quyida biz oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga asoslangan amaliy masalalaridan ba’zilarini misol tariqasida kо‘rib chiqamiz.

1. Populyatsiya evolyatsiyasi modeli. Ekologiyada, biologiyada tirik organizmlarning tashqi muhit bilan о‘zaro munosabatini о‘rganiladi. Kо‘payish yoki turli sabablarga kо‘ra nobud bо‘lish bilan bog‘liq bо‘lgan populyatsiyalarning ba’zi differensial modellarini keltiramiz. Vaqtning bir birligida populyatsiyada tug‘ilishlar sonini A,  nobud bо‘ladiganlari sonini V desak,  yetarli asos bilan populyatsiya soni x ning vaqtga bog‘liq о‘zgarish tezligini

                                                 (1)

formula bilan berish mumkin.  Endi masala    va   ni   ga bog‘liqligini tavsiflashdan iborat. 

         a) Eng sodda hol, populyatsiyalar evololyusiyasi masalasida agar populyatsiya ajratilgan, ozuqa resurslari chegaralanmagan,  kо‘payish tezligi balog‘atdagi jonzotlar mikdoriga proporsional deb hisoblansa

                                         (2)

dan iborat, bu yerda   va   – vaqtning bir birligida tug‘ilish va nobud bо‘lish koeffitsentlari. (2) ni hisobga olinsa, (1) ni

                                             (3)

kо‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaning yechimi

 

bо‘ladi, bu yerda  – boshlang‘ich momentdagi populyatsiya soni   (1) tenglamani 1802 yil Maltus birinchi bо‘lib о‘rgandi. Maltusning bu modeli kamchiligi shundan iboratki, bu tenglama populyatsiyalarning juda tor sinfi uchun о‘rinli bо‘ladi. Maltus esa uni butun tabiat uchun, hatto kishilar jamiyati uchun ham universal qonun deb hisoblagan.

         b)  ,   hol ham uchraydi. Bunda

                                                  (4)

tenglama hosil bо‘ladi.    bо‘lsa, yechim

dan iborat bо‘ladi.

(4) tenglama 1845 yilda olingan Ferxyulst–Perl tenglamasidan iborat bо‘lib, unda populyatsiyadagi ichki kurash xisobga olinadi. Bu Maltusning (1) tenglamasiga nisbatan populyatsiyaning rivojlanishini aniqroq tavsiflaydi. 

2. Fan rivojlanishining ikki modeli. a) eng sodda modelda ilmiy asarlar chop etilish sonining о‘sishi tezligi, chop etilganlar soniga proporsional deb faraz qilamiz:

bu yerda  –   momentdagi chop etilgan asarlar soni. Umumiy yechimi   dan iborat. Boshlangich momentdagi chop etilish sonini   desak, yechim

kabi bо‘ladi.   da   da   bо‘ladi;

b) har qanday ilmiy yо‘nalish uchun tо‘xtalish bosqichi bо‘ladi.

tenglamani olaylik,  ,   о‘zgarmaslar,   bо‘lsa,   bо‘ladi va demak   bо‘ladi, ya’ni   ning о‘sishi tо‘xtaydi.

3. Reklama samaradorligini о‘rganish masalasi. Bunda   vaqt momentidagi sotilayotgan maxsulot haqida xabardor bо‘lgan potensial xaridorlar soni   uchun

differensial tenglama hosil bо‘ladi, bu yerda   barcha potensial xaridorlar,   mahsulotdan xabardorlar soni,  — mahsulotdan bexabarlar soni,  – xabardorlar sonining о‘zgarishi tezligi,   kattalik   va   miqdorlarga proporsional deb hisoblanadi,   proporsionallik koeffitsenti. Tenglamaning umumiy yechimi

dan iborat, bu yerda  ,   – о‘zgarmas son.