4-bob. Statistik ko‘rsatkichlar. O‘rtacha miqdorlar va variatsiya ko‘rsatkichlari

6.3. Tanlab kuzatish xatolari
Tanlab kuzatishda birlikni tanlashning tasodifiyligi ta’minlanishi zarur. Har bir birlik boshqa birliklar bilan tanlanishida teng imkoniyatga ega bo‘lishi kerak. Tanlama to‘plamga kirgan birliklarning miqdori qabul qilingan tanlovning salmog‘i bilan aniqlanadi.

Tanlov salmog‘i tanlanma to‘plamdagi birliklar sonining bosh to‘plamdagi birliklar soniga nisbatidir:

Masalan, 1000 birlik detalli partiyada 5 foizli tanlamaning hajmi n=50 birlikni tashkil qiladi, 10 foizli tanlamada esa- 100 birlikni va h. k. Tanlamaning to‘g‘ri ilmiy jihatdan tashkil qilinganda reprezentativ xatolarni minimum miqdorga keltirish mumkin, natijada tanlama kuzatish etarlicha aniq bo‘ladi.

Statistikada tanlama usulni qo‘llaganda, odatda, ikki turdagi umumlashtiruvchi ko‘rsatkichlardan foydalaniladi: miqdoriy belgining o‘rtacha kattaligi va muqobil belgining nisbiy kattaligi (bu to‘plamdagi boshqa birliklardan faqat o‘rganilayotgan belgining borligi bilan ajralib turuvchi statistik to‘plamdagi salmog‘i yoki nisbiy miqdori).

Tanlama salmog‘i w, yoki chastotalar (juz’iy hol) o‘rganilayotgan belgi xususiyatlarini o‘zida to‘liq aks ettiruvchi birliklar sonini ( ) tanlama to‘plamdagi birliklarning umumiy soniga (n) nisbati bilan aniqlanadi:

Masalan, 2000ta detallar to‘plamidan tanlab olinagn 100 detaldan (n=100), 90 tasi (m=90) standart talablariga javob beradigan bo‘lsa, unda tanlama salmog‘i

w=90/100 = 0,90 ga teng bo‘ladi.
Tanlama ko‘rsatkichlarining ishonchliligini tavsiflash uchun tanlamaning o‘rta va me’yoriy xatolarini ajratib ko‘rsatiladi.

Tanlamaning xatosi yoki boshqacha aytganda, reprezentativ xato mos holda tanlama va bosh to‘plamning ko‘rsatkichlari o‘rtasidagi farqni bildiradi:

-o‘rtacha miqdoriy belgi uchun

-salmoq uchun (muqobil belgining)

.
Tanlama xatolari faqat tanlama kuzatishga xosdir. Bu xatoning miqdori qancha katta bo‘lsa, shuncha ko‘p darajada tanlama ko‘rsatkichlar mos xoldagi bosh ko‘rsatkichlardan farqlanadi.

Tanlama o‘rtacha va salmoq o‘z mohiyatiga ko‘ra tasodifiy miqdorlar bo‘lib, tanlovga to‘plamning qanday birliklari tushganligiga qarab turlicha ahamiyat kasb etishi mumkin. SHunday ekan, tanlamaning xatolari ham tasodifiy miqdorlar hisoblanadi. SHuning uchun bo‘lishi mumkin bo‘lgan xatolarning o‘rtachasini – tanlamaning o‘rtacha xatosi “ ” yordamida aniqlanadi.

Tanlamaning o‘rtacha xatosi nimaga bog‘liq bo‘ladi? Tasodifiy saralash tamoyiliga amal qilinganda tanlamaning o‘rtacha xatosi eng avvalo tanlamaning hajmi bilan aniqlanadi. Boshqa sharoitlar bir xil bo‘lganda tanlov soni qancha ko‘p bo‘lsa, tanlamaning o‘rtacha xatosi miqdori shuncha kam bo‘ladi. Tanlama tekshirishga bosh to‘plamning birliklarini ko‘proq jalb qilish yo‘li bilan bosh to‘plamni shunchalik aniqroq tavsiflaymiz.

Tanlamaning o‘rtacha xatosi, shuningdek, o‘rganilayotgan belgining variatsiyalash darajasiga ham bog‘liq bo‘ladi. Ma’lumki, variatsiyalash darajasi dispersiya ² yoki muqobil belgi uchun - w(1-w) bilan tavsiflanadi. Belgining variatsiyasi qancha kichik bo‘lsa, binobarin, dispersiya ham, tanlamaning o‘rtacha xatosi ham shuncha kichik bo‘ladi va aksincha. Dispersiya nolga teng bo‘lsa (belgi variatsiyalanmaydi), tanlamaning o‘rtacha xatosi nolga teng bo‘ladi, ya’ni bosh to‘plamning har bir birligi ushbu belgi bo‘yicha mukammal aniqlikda bosh to‘plamni tavsiflaydi.

Tanlab kuzatish sharoitida tanlamaning o‘rtacha xatosini aniqlashga yordam beradigan formulalarda tanlamaning o‘rtacha xatosi, uning hajmiga va belgining variatsiyalash darajasiga bog‘liqligi ifodalangan, bunda bosh to‘plamdagi o‘rganiluvchi belgilar noma’lum bo‘lib, bu holatda tanlamaning haqiqiy xatolarni bevosita formulalar bo‘yicha aniqlash mumkin bo‘lmay qoladi.

Tasodifiy takrorlanuvchi tanlovda o‘rtacha xatolarni nazariy jihatdan quyidagi formulalar asosida hisoblanadi:

-o‘rtacha miqdoriy belgi uchun,

,
-salmoq uchun (muqobil belgining),
.

Amalda bosh to‘plamdagi belgining dispersiyasi aniq ma’lum bo‘lmaganligidan, S² dispersiya miqdoridan foydalaniladi, u tanlab kuzatish uchun katta sonlar qonuni asosida hisoblanadi. Bu qonunga ko‘ra tanlama to‘plam tanlovining etarli katta hajmida to‘plamni etarli darajada aniq xarakteristikasini bera oladi.

SHunday qilib, takrorlanuvchi tasodifiy tanlovdagi tanlamaning o‘rtacha xatosini hisoblash formulalari quyidagilardan iborat bo‘ladi:

-o‘rtacha miqdoriy belgi uchun,

;
-salmoq uchun (muqobil belgining),

.
Lekin tanlama to‘plam dispersiyasi bosh to‘plam dispersiyasiga teng bo‘lmaydi, shuning uchun bu formulalar yordamida hisoblangan tanlamaning o‘rtacha xatosi taqribiy bo‘ladi. Ammo ehtimollar nazariyasida bosh dispersiya tanlama orqali quyidagi nisbatda ifodalanishi isbotlangan:

^.
Bunda n/(n-1) n ning etarli darajadagi katta miqdorlarida 1 ga yaqin bo‘ladi, shuning uchun S² teng deb qabul qilish mumkin. Bundan kelib chiqib, amalda tanlamaning o‘rtacha xatosini hisoblashda bu formulalardan foydalanish mumkin. Faqat kichik tanlama holatlarida (agar tanlamaning hajmi 30 dan oshmasa) n/(n-1) koeffitsientni hisobga olish zarur va kichik tanlamaning o‘rtacha xatosi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
,

bu erda: km- kichik tanlama.

Tasodifiy takrorlanmaydigan tanlamada esa yuqorida keltirilgan tanlamaning o‘rtacha xatosini hisoblash formulalaridagi ildiz ostidagi ko‘rsatkichni (1-n/N) ga ko‘paytirish zarur, chunki takrorlanmaydigan tanlamada bosh to‘plamning birliklar soni qisqaradi. Binobarin,takrorlanmaydigan tanlama uchun tanlamaning o‘rtacha xatosini hisoblash formulalari quyidagi ko‘rinishni oladi:
-o‘rtacha miqdoriy belgi uchun,
;
-salmoq uchun (muqobil belgining),

Bunda n har doim N dan kichik bo‘lganligi sababli, qo‘shimcha ko‘paytuvchi (1-n/N) har doim 1 dan kichik bo‘ladi. Bundan takrorlanmaydigan tanlamada o‘rtacha xato takrorlanuvchi tanlamaga nisbatan kichik bo‘ladi degan xulosa chiqarish mumkin. Bir vaqtning o‘zida nisbatan katta bo‘lmagan tanlama foizida bu ko‘paytuvchi 1 ga yaqin bo‘ladi (masalan, 5 foizli tanlamada u 0,95 ga; 2 foizlida – 0,98 ga teng bo‘ladi va h.k.) SHuning uchun ba’zan amaliyotda takrorlanmaydigan tanlama o‘tkazilganda, yuqoridagi ko‘rsatilgan ko‘paytuvchini qo‘llamasdan tanlamaning o‘rtacha xatosini topish formulalari ishlatiladi. Bu bosh to‘plam N ning birliklari soni ma’lum yoki cheksiz bo‘lganda, shuningdek, N ga nisbatan n juda kichik bo‘lgan xolatlarda, ya’ni qo‘shimcha ko‘paytuvchining miqdori 1 ga yaqin bo‘lib, tanlamaning o‘rtacha xatosi miqdoriga ta’sir qilmaganda qo‘llaniladi.

Mexanik tanlamada, neytral belgi bo‘yicha teng intervallarga (guruhlarga) bo‘lingan bosh to‘plamdan tanlama to‘plamga birliklar tanlab olinadi, bunda har bir bunday guruhdan tanlamaga faqat bir birlik tanlab olinadi. Doimiy xatoga yo‘l qo‘ymaslik uchun har bir guruhning o‘rtasida joylashgan birlikni tanlab olinishi kerak.

Mexanik tanlamani tashkil qilishda to‘plamning birliklari oldindan ma’lum tartibda (masalan, alfavit bo‘yicha, joylashish o‘ringa ko‘ra, qaysidir ko‘rsatkichni ko‘payib yoki kamayib borishi bo‘yicha va h.k.) joylashtiriladi.

Keyin esa to‘plamning belgilangan birliklari soni ma’lum interval orqali tanlab olinadi. Bunda bosh to‘plamdagi intervalning o‘lchovi tanlama salmog‘i miqdorining teskari miqdoriga teng. Masalan, 2 foizli tanlamada har 50-birlik tanlanadi va tekshiriladi, (1:0,02) 5 foizli tanlamada har 20-birlik (1:0,05).

Etarli darajadagi katta to‘plamda mexanik tanlama natijalarining aniqligi bo‘yicha tasodifiy tanlamaga yaqin keladi. SHuning uchun mexanik tanlamaning o‘rtacha xatosini aniqlaganda tasodifiy takrorlanmaydigan tanlamaning formulalaridan foydalaniladi.

Har xil turdagi to‘plamdan birliklarni tanlab olish uchun tipik tanlama deb atalgan usul qo‘llaniladi.

Tipik tanlama bosh to‘plamning hamma birliklarini sifat jihatdan bir xil, bir turdagi guruhlarga bo‘lish mumkin bo‘lganda ishlatiladi. CHunki, bu guruhlarga o‘rganilayotgan ko‘rsaktichlar bog‘liq bo‘ladi.

Korxonalar tekshirilayotganda bunday guruhlar, masalan, tarmoqlar, mulkchilik shakllari bo‘yicha guruhlar bo‘lishi mumkin.

Keyin har bir tipik guruhdan faqat tasodifiy yoki mexanik tanlash usuli bilan tanlama to‘plamga birliklarni individual tanlash o‘tkaziladi.

Tipik tanlama odatda murakkab statistik to‘plamlarni o‘rganganda qo‘llaniladi. Masalan, iqtisodiyotning alohida tarmoqlaridagi ishchi va xizmatchilarning oilaviy byudjetlarini, ularning malakasi bo‘yicha alohida guruhlarga bo‘lingan korxona ishchilarining mehnat unumdorligini tanlama tadqiqot qilinganda ishlatiladi.

Tipik tanlama tanlov to‘plam birliklarini boshqa usullarda tanlashga qaraganda ancha aniq natijalar beradi. Bosh to‘plamni tipiklashtirish tanlamaning reprezentativligini shunday ta’minlaydiki, bunda har bir tipik guruhning o‘rtacha tanlama xatosiga guruhlararo dispersiyaning ta’sirini bartaraf etishga imkon beradi. SHuning uchun tipik tanlama o‘rtacha xatosini aniqlovchi variatsiya ko‘rsatkichi bo‘lib, guruhlar ichidagi dispersiya o‘rtachasi hisoblanadi.

Tanlamaning o‘rtacha xatosini quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi:

-o‘rtacha miqdoriy belgi uchun,
(takrorlanuvchi tanov),
; (takrorlanmaydigan tanlov);
-salmoq uchun (muqobil belgining),
(takrorlanuvchi tanlov);
(takrorlanmaydigan tanlov);
bu erda: - tanlama to‘plam bo‘yicha guruhlar ichidagi dispersiyalarning o‘rtachasi;

- tanlama to‘plam bo‘yicha guruhlar ichidagi (muqobil belgining) salmoq dispersiyasining o‘rtachasi.

Seriyali tanlamada bosh to‘plamdan tasodifiy tanlama alohida birliklarni emas, balki teng kattalikdagi guruhlarni (uyalar, seriyalarni) tanlashni bildiradi, shuningdek bu guruhlardagi hamma birliklar (birortasi ham tushirib qoldirilmasdan) kuzatiladi.

Seriyali tanlash savdo korxonalarida yaxshi natija beradi. Masalan, tovarlar sifatini tekshirishda. Ma’lumki, tovarlar asosan qadoqlangan bo‘ladi. Qadoqlangan tovarlarning sifatini nazorat qilishda yoppasiga kuzatish o‘tkazish mumkin emas. Bu erda seriyalab tanlash juda samarali bo‘lib hisoblanadi. Bunda guruh(seriya)ning ichidagi birliklarning hammasi tekshirilganligi uchun tanlamaning o‘rtacha xatosi (teng kattalikdagi seriyalarni tanlashda) faqat guruhlararo(seriyalararo) dispersiyaga bog‘liq bo‘ladi.

Seriyali tanlamada o‘rtacha miqdoriy belgi uchun tanlamaning o‘rtacha xatosini quyidagi formulalar bo‘yicha topiladi:

(takrorlanuvchi tanlov);
(takrorlanmaydigan tanlovlar);
bu erda – tanlangan seriyalar soni; R – seriyalarning umumiy soni.

Seriyali tanlamaning guruhlararo dispersiyasi quyidagicha hisoblanadi:

bu erda: –i seriyaning o‘rtachasi; - butun tanlama to‘plam bo‘yicha umumiy o‘rtacha.

Seriyali tanlamada muqobil belgining salmog‘i uchun tanlamaning o‘rtacha xatosi quyidagi formulalar bo‘yicha aniqlanadi:
(takrorlanuvchi tanlov);
(takrorlanmaydigan tanlov).
Seriyali tanlama salmog‘ining guruhlararo (seriyalararo) dispersiyasi ( )quyidagi formula bilan aniqlanadi:
,
bu erda: w_i - i seriyadagi belgining salmog‘i; w – butun tanlama seriyadagi belgining umumiy salmog‘i.

Ctatistik tadqiqotlarda tanlashning yuqorida ko‘rib chiqilgan usullari bilan bir qatorda ularning kombinatsiyasi (qo‘shilgan holdagisi) ham qo‘llaniladi (kombinatsiyali tanlama).

Tanlab kuzatishning pirovard maqsadi tanlamaning natijalari asosida bosh to‘plamni tavsiflash hisoblanadi.

Tanlama o‘rtacha va nisbiy miqdorlar bosh to‘plamga yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoni hisobga olgan holda tadbiq etiladi.

Har bir aniq tanlamada o‘rtacha tanlama bilan bosh to‘plam o‘rtasidagi farq, ya’ni tanlamaning o‘rtacha xatosi  dan kam, unga teng yoki undan katta bo‘lishi mumkin.

Bunda bu farqlarning har biri turli xil ehtimollikka ega bo‘ladi (hodisani ob’ektiv sodir bo‘lish imkoniyati). SHuning uchun o‘rtacha tanlama bilan bosh to‘plam o‘rtasidagi haqiqiy farqini o‘rtacha xato va kafolatlanuvchi ma’lum ehtimollik R bilan bog‘langan me’yoriy xato deb qarash mumkin.

Tanlamaning me’yoriy xatosini o‘rtacha (x) uchun takrorlanuvchi tanlamada quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin.
,
bu erda: t – normallashtirilgan chetlanish – ehtimollikdan kelib chiquvchi tanlamaning me’yoriy xatosi kafolatlanadigan “ishonch koeffitsienti”, – tanlamaning o‘rtacha xatosi.

Xuddi shu taxlitda tanlamaning me’yoriy xatosini salmoq (w) uchun takrorlanuvchi tanlamada quyidagi formula bo‘yicha yozish mumkin:

.

Tasodifiy takrorlanmaydigan tanlamada tanlamaning me’yoriy xatolarini () hisoblash formulalarida ildiz ostidagi ifodani (1-n/N) ga ko‘paytirish kerak. YA’ni:

• 
  o‘rtacha uchun,
  

- salmoq uchun,

.
YUqoridagi misolimizda 5 foizli tasodifiy takrorlanmaydigan tanlov o‘tkazilganda (t=2) w = 0.90, o‘rtacha kvadratik chetlanish g. bo‘lganda to‘plamdagi detallarning o‘rtacha og‘irligi bo‘lsin.

Tanlama me’yoriy xatosining mutloq miqdori:

o‘rtacha uchun,

g,
salmoq uchun,

Tanlamaning me’yoriy xatosi formulasi tanlama usuli nazariyasining asosiy qoidalaridan kelib chiqadi, bu qoidalar ulkan sonlar qonuni ifodalovchi ehtimollar nazariyasining bir qator teoremalarida ifodalab berilgan.

P.L. CHebыshevning teoremasiga (A.M.Lyapunov tomonidan aniqlashtirilgan) asosan, birga yaqin bo‘lgan ehtimollik bilan shuni tasdiqlash mumkinki, tanlamaning etarli darajadagi katta hajmi va chegaralangan bosh dispersiyada tanlama umumlashtiruvchi ko‘rsatkichlar (o‘rtacha, salmoq) ularga mos keluvchi bosh ko‘rsatkichlardan juda kam farq qiladi.

Belgining o‘rtacha miqdorini topishga bu teoremani tadbiq etsak, bu quyidagicha bo‘ladi:

,
belgini salmog‘i uchun esa:

,

bu erda:

SHunday qilib, tanlamaning me’yoriy xatosining miqdorini ma’lum ehtimollik bilan o‘rnatish mumkin ekan.

F(t) funksiyasining miqdorini, tanlamaning karrali o‘rtacha xatosi koeffitsienti sifatidagi t ning turli miqdorlari uchun maxsus tuzilgan jadval asosida aniqlashadi. Ko‘pincha qo‘llaniladigan etarli darajadagi katta hajmdagi ( ) tanlama usul uchun ayrim miqdorlarni keltiramiz:

t	1,000	1,960	2,000	2,580	3,000
F(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

Tanlamaning me’yoriy xatosi tanlamaning ma’lum ehtimollik bilan aniqlanishini ko‘rsatadiki, bu miqdor t koeffitsienti bilan aniqlanadi (amaldagi hisoblashlarda, berilgan ehtimollik 0,95 dan kam bo‘lmasligi kerak): Agar t=1 bo‘lsa, me’yoriy xato = bo‘ladi.

SHunga ko‘ra, 0,683 ehtimollik bilan shuni tasdiqlash mumkinki, tanlama va bosh ko‘rsatkichlar o‘rtasidagi farq tanlamaning bitta o‘rtacha xatosidan oshmaydi. Boshqacha aytganda, 68,3 foiz xollarda reprezentativ xato 1 atrofida bo‘ladi. t=2 da ehtimollik 0,954 bo‘lsa, u 2 atrofida,t=3 da ehtimollik 0,997 bo‘lsa, y 3 atrofida bo‘ladi va h.k.

YUqorida keltirilgan F(t) funksiyaning miqdorlaridan ko‘rinib turibdiki (oxirgi miqdorga qaralsin) xatoning yuzaga chiqish ehtimoli tanlama o‘rtacha xatosini uch karralangan miqdoriga teng yoki katta bo‘lyapti, ya’ni  3, bu juda kam bo‘lib, 0,003 ga teng, ya’ni 1-0,997. Bu kam ehtimolik hodisalar amalda sodir bo‘lmaydi deb hisoblanadi va shuning uchun =3 kattalikni tanlamaning yo‘l qo‘yishi mumkin bo‘lgan xatoning me’yori (chegarasi ) deb qabul qilish mumkin.