4-amaliy mashg’uloti Mavzu: Aleksandriya ilmiy maktabi. Evklidning “Boshlang’ichlar” asarining strukturasi va roli. Aristotelning deduktiv fan konpetsiyasi va XIX-XX asrlarda aksiomatika

---

4-amaliy mashg’uloti 

Mavzu: Aleksandriya ilmiy maktabi. Evklidning “Boshlang’ichlar” asarining 

strukturasi va roli. Aristotelning deduktiv fan konpetsiyasi va XIX-XX 

asrlarda aksiomatika. 

Reja: 

1)  Aleksandriya ilmiy maktabi; 

2) Aristotelning deduktiv fan konsepsiyasi; 

3)  Evklid  “Boshlang„ichlar”  ning  strukturasi  va  uni  matematikani  rivojlan 

tirishdagi roli; 

4) Antik davr va XIX –XX asr matematikasidagi aksiomatik pozitsiya. 

E.o.  323  yili  Aleksandr  Makedonskiy  Vavilonda  vafot  etadi.  Uning 

lashkarboshilari katta  imperiyani bo‟lib oladilar. Misrda  Ptolomeylar  hukmdorligi 

urnatiladi.  Aleksandriya  shahri  dengiz  buyida  joylashganligi  ya‟ni  port  shahri 

bulgani, texnikani jamlaganligi savdo – sotik uchun kulayligi uni yangi davlatning 

xujalik  va  boshkarish  markaziga  aylantirdi.  Bu  kulayliklar  Ptolomeylarni 

Aleksandriya  shahrida  ilmiy  –  ukuv  markazi  –  Muzeyon  tashkil  etishga  ,  bu 

markazga  yirik  olimlarni  jamlash  (oylik  tulash  asosida)  ilmiy  ishlarni  va  ukitish 

ishlarini yulga kuyishni tashkil etdi. Bu Muzeyon 700 yil davomida ilmiy markaz 

bo‟lib koldi va bu erda 500 mingdan ortik kulyozmalar jamlandi. SHundan  sung 

reaksioner  xristianlar  tomonidan  boshka  tillik  olimlar  kuvg„in  kilindi  yoki  

uldirildi, Muzeyonni esa taladilar va oxiri ut kuydilar. 700 yil davomida bu ilmiy 

markazda  kuplab  antik  olimlar  ishladilar.Bulardan;  Evklid  (360  –  283  y  e.o), 

Apolloniy  (e.o  260y)  ,  Diofant  (250  y),  Eratosfen  (e.o.  250)  ,  Meneloy  (100  y), 

Geron (I-II), Ptolomey (150 y), Aristotel (384 – 322).va boshkalar. 

  Konkret  masalalarni  yechishda  abstraktlash,  bir  xil  tipdagi  masalalarni 

yechish  natijasida  matematikani  rang-barangligi  va  mustakilligi  oshkora  bula 

boshladi.  Bu  faktlar  matematik  bilimlar  sistemalashtirish  va  uning  asoslarini 

mantikiy ketma-ketlikda bayon etish zaruriyatini kuydi.Bu vazifani muvaffakiyatli 

hal  qilishda  Aristotelning  falsafiy  dunyokarashlari,  hamda  mantik  fanining 

yutuklari  katta  rol  uynadi.  Bu  davrga  kelib  fikrlashning  asosiy  formatlari 

shakllangan,  sistemalashgan  va  ilmiy  ishlab  chikarilgan  bo‟lib,  deduktiv  fan 

ko‟rishning  asosiy  prinsiplari  ilgari  surilgan  edi.  Bu  prinsipga  kura  mantikan 

murakkablashib  boruvchi  fan  aksiomalar  sistemasi  asosida  ko‟rilishi  kerak. 

Matematika esa aynan shunday fan edi. 

---

  SHundan  sung  matematika  “Boshlang„ichlar”  ko‟rinishida  aynan  deduktiv 

metod  asosida  yaratila  boshladi.  Biz  shulardan  eng  mashhuri  (300)  asari  bilan 

tanishaylik.  Evklidning  uzi  Aristotel  prinsipi  asosida  kitob  yozishni  maksad  kilib 

kuygan  bulsa  kerak,  natijada  esa  matematik  bilimlar  ensiplopediyasi  vujudga 

keladi. 

  Boshlang„ichlar  13  ta  kitobdan  iborat.  Bularning  har  birida  teoremalar 

ketma-ketligi bor. 

  I  –  kitob;  ta‟rif,  aksioma  va  postulatlar  berilgan.Boshka  kitoblarda  fakat 

ta‟riflar uchraydi.(2-7,10,11).  

  Ta‟rif  –  bu  shunday  jumlaki,  uning  yordamida  avtor  matematik 

tushunchalarni izoxlaydi. Mas; “ nukta bu shundayki, u kismga ega emas” yoki “ 

kub shunday jismki, u teng oltita kvadrat bilan chegaralangan”. 

  Aksioma  –  bu  shunday  jumlaki,  mikdorlarning  tengligi  va  tengsizligini 

kiritadi.Jami aksiomalar 5 ta ; (Evdoks sistemasi) 

1.  a = v, v= s =  a = s ; 

  2. a = v, s =     a + s = v +s;  

  3. a = v, s =     a –s = v – s 

  4. a = v    =    v = a; 

5. Butun kismdan katta. 

   Postulat  –  bu  shunday  jumlaki,  uning  yordamida  geometrik  yasashlar 

tasdiklanadi va  algoritmik operatsiyalar asoslanadi. Jami postulatlar beshta; 

1.  har kanday ikki nukta orkali tug„ri chizik utkazish mumkin; 

2.  tug„ri chizik kesmasini cheksiz davom ettirish mumkin; 

 

3.  har kanday markazdan istalgan radiusda aylana chizish mumkin; 

4.  hamma tug„ri burchaklar teng; 

5.  agar bir tekislikda yotuvchi ikki tug„ri chizik bilan kesilsa vabunda ichki 

bir  tomonli  burchaklar  yig„indisi  180    dan  kichik  bulsa,  u  holda  tug„ri 

chiziklar shu tarafda kesishadi. 

  Endi “Boshlang„ichlar” ning mazmuni bilan tanishaylik; 

  I – VI kitoblar planametriyasiga bag„ishlangan; 

  VII – IX kitoblar arifmetikasiga bag„ishlangan; 

 X – kitob bikvadrat irratsionalliklarga bag„ishlangan; 

---

  XI – XIII kitoblar stereometriyasiga bag„ishlangan. 

  I  –  kitobda  asosiy  yasashlar,  kesmalar  va  burchaklar  ustida  amallar, 

uchburchak,  turtburchak  va  parallelogramm  xossalari  hamda  bu  figuralar 

yuzalarini  takkoslash  berilgan  bo‟lib,  Pifagor  teoremasi  va  unga  teskari  teorema 

bilan yakunlanadi. 

  II  –  kitobda  geometrik  algebraga  bag„ishlangan  bo‟lib,    bunda  tug„ri 

turtburchak  va  kvadrat  yuzlari  orasidagi  munosabatlar  algebraik  ayniyatlarni 

interpritatsiya qilish uchun buysundirilgan. 

  III  –  kitob  aylana  va  doira,  vatar  va  urinma  markaziy  va  ichki  chizilgan 

burchaklar xossalariga bag„ishlangan. 

  IV  –  kitob  ichki  va  tashki  chizilgan  chizilgan  muntazam  kupburchaklar 

xossalariga  bag„ishlangan.Muntazam    3,  4,  5,  6  va  15  burchaklarni  yasashga 

bag„ishlangan. 

  V  –  kitob  nisbatlar  nazariyasi  bilan  boshlanib  (Evdoks  nazariyasi  bo‟lib, 

hozirgi  zamon  hakikiy  sonlar  nazariyasining  Dedekind  kesmalariga  mos  keladi), 

proporsiyalar nazariyasi rivojlantirilgan. 

  VI  –  kitob  nisbatlar  nazariyasining  geometriyaga  tatbik  etilib  umumiy 

asosga ega bulgan tug„ri turtburchaklar va parallelogramm yuzalarining nisbatlari, 

burchak  tomonlarini  parallel  tug„ri  chiziklar  bilan  kesganda  hosil  buladigan 

kesmalarning  proporsionalligi,  uxshash  figuralar  va  ular  yuzalarining  nisbati 

haqidagi teoremalar karaladi. YUzalar uchun elliptik va giperbolik tadbiklarga doir 

teormelar berilgan bo‟lib, 

S

х

с

в

ах

2





  (a,  v,  s–berilgan  kesmalar,  S  –yuza,  x–

noma‟lum kesma) ko‟rinishdagi tenglamalarni geometrik yechish metodi berilgan. 

VIII – kitob-oldingi nazariya davom ettirilib uzluksiz sonli proporsialar  bilan 





















n

1

n

2

1

1

а

а

...

а

а

а

а

  IX-kitob  yakunlanadi.  Geometrik  progressiya  va  uning 

hadlari  yig„indisini    topish  usuli  beriladi.Kupgina  Kismi  tub  sonlarga 

bag„ishlangan bo‟lib, bu tuplam cheksiz ekanligi isboti meros kolgan. Sonlarning 

juft  va  toklik  xossalari  karaladi.  Sungida  esa  ushbu  teorema  bilan  yakunlanadi.; 

Agar 







n

0

в

k

S

2

  ko‟rinishdagi  son  tub  bulsa,  u  xolda  S

1

=S*2

n

  sonlar  mukammal 

buladi,(Mukammal son –barcha buluvchilarning yig„indisi plyus bir minus uzi ) Bu 

teorima isbotlanmagan.                                                                         

---

X  –  kitob 

в

а



  ko‟rinishidagi  irratsionalliklarni  25  ta  klassifikatriyasi 

berilgan.  Bundan  tashkari    bir  kancha  lemmalar  berilgan  bo‟lib,  bular  ni  ichida 

inkor  etish  (ischerpыvanie)  metodining  asosiy  lemmasi,  yani  agar  berilgan 

mikdordan  uzining  yarmidan  kupini  ayirib  tashlansa  va  kolgan  uchun  yana  shu 

proyess  takrorlansa,u  xolda  etarlicha  kup  kadamdan  sung  oldindan  berilgan 

mikdordan  kichik  buladigan    mikdora  ega  bulish  mumkin.  YAna  cheklanmagan 

mikdorda    ”Pifagor  sonlarni  “  topish  usuli  .  ikkita  va  uchta  ratsional  sonlarning 

umumiy eng katta ulchovini topish . ikki mikdorda ulchamlik  kriteriysini berilgan 

.  

Sungi    uch  kitob  (XI  –XIII)  steremetriyaga  bag„ishlangan  bo‟lib,  bulardan  XI-

kitob  bir  kancha  tariflar  berilgan.  Sung  tug„ri  chizik    va  tekisliklarning  fazoda  

joylashuviga  oid  kator  teorimalar  xamda  kupekli  burchaklar  xakida  teorimalar 

berilgan.Oxirida parallepiped va prizma xajimlariga doir masalalar berilgan. 

XII- kitobda fazoviy jismlarining munosabatlari haqidagi teoremalar inkor etish 

metodi yordamida beriladi. 

 

XIII – kitob beshta muntazam kupyokliklarni; tetraedr(4 yokli), geksoedr (6 

yokli), oktaedr (8 yokli), dodektaedr (12 yokli), ikosaedr (20 yokli) yasash usullari 

va  shar  hajmi  haqidagi  ma‟lumotlar  berilgan.  Eng  sunggida  boshka  muntazam 

kupyoklilar mavjud emasligi isbotlanadi. 

 

Kitobning yutuk va kamchiliklari;                  

1.  Muhokama usuli sintetik, ya‟ni ma‟lumdan noma‟lumgacha; 

2.  Isbotlash  usuli;  masala  yoki  teorema  bayon  etiladi,  bunga  mos  teorema 

beriladi, chizmada noma‟lum aniklanadi yordamchi chiziklar kiritilinadi, isbotlash 

protsessi, yakun yasab xulosa chikarish. 

3.  Geometrik  yasash  kuroli  –  serkul  va  chizg„ich  bo‟lib,  bular  o‟lchash  kuroli 

emas.  SHuning  uchun  kesma,  yuza,  hajmlarni  o‟lchash  emas,  balki  ularni 

munosabatlari ustida ish yuritilinadi. 

4.  Bayon  etish  usuli  –  tili  sof  geometrik  bo‟lib,  sonlar  ham  kesmalar  orkali 

berilgan. 

5.  Konus  kesmalar  nazariyasi,  algebraik  va  transsendent  chiziklar  haqida 

ma‟lumotlar yuk. 

6.  Hisoblash metodlari umuman berilmagan. 

7.  Boshidan to oxirigacha aksiomatik bayon etish usuliga ko‟rilgan. 

8.  Idealistik filosofiya tendensiyasi asosida bayon etilishi va urta mantikiyligi. 

 

SHunga  karamasdan  kariyib  2000  yil  davomida  butun  geometrik 

izlanishlarning asosi bo‟lib xizmat kiladi. 

 

YUkoridagi  kichikliklarni  bartaraf  etish  va  usib  borayotgan  matematik 

kat‟iylikni  ta‟minlash  uchun  juda  kup  urinishlar  buldi.  Bunga  misol  1882  yili 

---

Pasha ishlari, 1889 Peano ishlari, 1899 y Pieri ishlarini aytish mumkin.Lekin 1899 

yili Gilbertning “Geometriya asoslari” da keltirilgan aksiomalar sistemasi hamma 

tomondan  tan  olindi.Asosiy  tushunchalar;  (.),  tug„ri  chizik,  tekislik;  tegishli, 

orasida, kongruent. Beshta gruppa aksiomalar; 8 ta birlashtiruvchi va tegishlilik; 4 

ta  tartib,  5  ta  kongruentlik  yoki  harakat;  2  ta  uzluksizlik.  Bular  Evklidnikiga 

karaganda  yukori  darajada  predmetlarni  fazoviy  va  mikdoriy  abstraksiyalash 

imkonini beradi. 

 

Tekshirish savollari: 

1.  Kubni ikkilantirish masalasi nimadan iborat? 

2.  Burchakni uchga bulishga doir masalalardan namuna keltiring. 

3.  Doirani kvadratlash nima? 

4.  Muammoni keyingi rivoji kanday kechgan?