4 – Маъруза. Чизиқли алгебраик тенгламалар системаcини ечишнинг итерацион методлари. Стационар итерацион методлар

2.1. Итерацион метод яқинлашишининг тезлиги.
Амалда итерацион методнинг фақат яқинлашиши мухим булмасдан, балки яқинлашиш тезлиги хам мухимдир. Сонли хисоблаш пайтида чекли сондаги итерация амалга ошириладиган булганлиги сабабли, маълум сондаги итерация бажарилганда бошлангич хатоликнинг қанчага камайишини билиш мухим хисобланади. Бу саволга жавоб бериш учун, итерацион метод хатолиги бахосини тахлили имкон беради. Олдинги қисмдаги (8) – бахони қуйидагича ёзиш мумкин:
(1)
бу ерда q(0,1). Агар итерацион метод учун (1)-тенгсизлик бажарилса, унда бу метод махражи q - га тенг булган геометрик прогрессия каби нолга интилади деб айтилади.
(1)- баходан фойдаланиб, бошлангич хатолик берилган марта кичик буладиган итерациялар сонини аниқлаш мумкин. хақиқатдан хам >0 бериб, q^k<булишини талаб қиламиз.
Бундан
(2)
келиб чиқади.
(1) - дан

хосил булади, яъни К₀() итерациядан кейин хатолик ^-1 маротаба камаяди. K₀() нинг бутун қисми , аниқликка эришиш учун зарур минимал итерациялар сони деб айтилади. -яқинлашиш тезлиги дейилади. Яқинлашиш тезлиги S матрица хоссаларига боглиқ булиб x⁰ - га хам  аниқликка хам боглиқ эмас. Итерацион методлар сифатини одатда уларнинг яқинлашиш тезлиги буйича аниқлашади: тезлик қанча катта булса, метод шунча яхши хисобланади.


2.2. А ва В матрицалар симметрик булган холда яқинлашиш тезлигини бахолаш.
Ax = f (3)
тенгламалар системасини ечишнинг итерацион методларини урганишни давом эттирамиз. Олдиндагидек, бир қадамли
(4)
стационар итерацион методларни қараймиз.
Олдинги параграфда исбот қилинган яқинлашиш хақидаги теорема А ва В ларга минимал шарт қуяди ва у мухим назарий ахамиятга эга. Аммо ундан амалиётда маълум итерацион методларга қуллаш хамма вақт хам мумкин булмайди. Чунки S=E-B^-1A матрицанинг спектрини қидириш ёки тадқиқ этиш (3)- системани ечишга қараганда анча қийин хисобланади.
Бу ерда А ва В матрицалар орасидаги тенгсизликларни текшириш билан боглиқ яқинлашиш шартларини текширишни осонлаштирадиган теорема баён қилинади. (3) - система ечими x-ни ва x^k яқинлашишларни Н чекли улчовли чизиқли фазо элементлари А,В ва бошқа матрицаларни Н ни узига акслантирувчи матрицалар сифатида қараймиз.
Фараз қиламиз Н да (y,v) - скаляр купайтма ва -норма киритилган булсин. А ва В симметрик матрицалар учун , барча x лар учун ни англатади. D симметрик ва мусбат аниқланган матрица учун белгилашни қабул қиламиз.
1-теорема. Фараз қиламиз А ва В матрицалар мусбат аниқланган ва симметрик матрицалар булиб, улар учун
(5)
бу ерда _­1 ва ₂ мусбат узгармаслар булиб, __ тенгсизлик уринли булсин.
(6)
булганда (4) итерацион метод якинлашади ва хатолик учун
(7)


(8)
бахолар уринлидир.
Бу ерда ва
(9)
1-натижа. Агар A^T = A >0 булса, унда
(10)
оддий итерация методи учун  = ₀ = булганда
(11)
бахо уринли. Бу ерда

2-натижа. А симметрик ва ₀ = булганда

бу ерда , тенглик уринлидир. Амалда А матрица бошлангич шартларга сезгир булади, унда нисбат катта булади. Бу холда ₀ бирга яқин булади. Натижада яқинлашиш тезлиги секин булиб, ечимни  аниқликда топиш учун зарур булган K₀итерация сони катта булади ( O ) . Шундай қилиб  кичик булганда оддий итерация методи секин яқинлашувчи булади. Итерацион методлар тезлигини оширишнинг икки йули бор: биринчидан булганда ошкормас итерацион методни қуллаш хисобига ва иккинчидан шу методлар синфидан  = _k -ларни танлаш билан тезликни ошириш мумкин.