4- §. Koordinata o‘qlari parallel ko‘chirilganda inersiya momentlarining o‘zgarishi

---

85
Agar
c
d
d
=
0
desak, u holda 
[
]
(
)
4
4
4
4
1
1
,
0
1
32
c
d
c
d
I
−
≈
−
=
π
ρ
(3.17) 
(
)
4
4
1
05
,
0
c
d
I
I
y
x
−
=
=
(3.18) 
bo‘ladi. 
Hisoblash ishlarini bajarishda sodda shakllarning inersiya 
momentlari keltirib chiqargan formulalarimiz yordamida bajarilsa, 
standart profilli po‘lat prokatlarning inersiya momentlari esa 
sortamentlardan olinadi. 
Ko‘pincha amaliy masalalarni yechishda tekis kesimlarning 
turlicha yo‘naltirilgan o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini 
hisoblashga to‘g‘ri keladi. Shu sababli, tekis kesimli jismning turli 
koordinata o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari orasidagi 
bog‘lanishlarini aniqlash muhim hisoblanadi. 
Eng umumiy holda «eski» koordinata sistemasidan «yangi» 
koordinata sistemasiga o‘tishni 2 ta alohida almashtirishlar orqali 
bajarish mumkin, ya’ni koordinata o‘qlarini yangi holatga parallel 
ko‘chirish yoki koordinata sistemasini “eski” sistemaga nisbatan biror 
burchakka burish orqali “yangi” koordinata sistemasiga o‘tish mumkin. 
Bu hollarda inersiya momentlarning qanday o‘zgarishini alohida ko‘rib 
chiqamiz. 
4- §. Koordinata o‘qlari parallel ko‘chirilganda inersiya 
momentlarining o‘zgarishi 
Bizga F yuzaga ega bo‘lgan tekis kesimning (3.13-rasm) 
x
1
, y
1
o‘qlarga nisbatan 
1
1
1
1
,
,
y
x
y
x
I
I
I
inersiya momentlari ma’lum bo‘lsin. 
Ushbu kesimning (3.13-rasm) inersiya momentlarini 
x
1
, y
1
 
o‘qlariga parallel bo‘lgan «yangi»
x
2
,
 
y
2 
o‘qlarga nisbatan topish talab 
qilinsin. 
Bu yerda 
,
,
1
2
1
2
b
x
x
a
y
y
+
=
+
=
bo‘lib, «yangi» koordinata sistemasiga nisbatan inersiya momentlar 
quyidagicha bo‘ladi: 

---

86
;
2
)
2
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
dF
a
dF
y
a
dF
y
dF
a
ay
y
dF
a
y
dF
y
I
F
F
F
F
F
F
x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
=
=
+
+
=
+
=
=
3.13-rasm. O‘qlarni parallel ko‘chirganda inersiya momentlarining 
o‘zgarishi. 
Bu yerda 
F
dF
S
dF
y
J
dF
y
F
x
F
F
x
=
=
=
∫
∫
∫
,
,
1
1
1
2
1
bo‘lgani uchun 
F
a
S
a
I
I
x
x
x
2
1
1
1
2
+
+
=
(3.19) 
Xuddi shu usulda 
I
y
2
ni topamiz: 
F
b
S
b
I
I
y
y
y
2
1
1
2
2
+
+
=
(3.20) 
Markazdan qochma inersiya moment esa 
(
)(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
=
=
F
F
F
F
F
F
F
dF
ab
dF
y
b
dF
x
a
dF
y
x
dF
ab
by
ax
y
x
dF
b
x
a
y
dF
y
x
y
x
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Bu yerda 
,
1
1
1
1
I
y
x
dF
y
x
F
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
F
x
y
F
F
dF
S
dF
y
S
dF
x
,
,
1
1
1
1
bo‘lgani uchun 

---

87
.
1
1
1
1
2
2
abF
bS
aS
I
I
x
y
y
x
y
x
+
+
+
=
(3.21) 
Agarda 
x
1
, y
1
o‘qlari markaziy 
x
c
, y
c
o‘qlardan iborat bo‘lsa (3.14-
rasm), u holda ushbu o‘qlarga nisbatan statik momentlar nolga teng 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
0
,
0
1
1
S
S
y
x
bo‘lgani uchun 
(3.19), (3.20), (3.21)
formulalar 
quyidagi ko‘rinishga keladi: 
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
+
=
+
=
+
=
abF
I
I
F
b
I
I
F
a
I
I
c
c
c
c
y
x
y
x
y
y
x
x
2
2
2
2
2
2
(3.22) 
Ushbu formulalar amaliy hisoblash ishlarida keng qo‘llaniladi. 
3.14-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchak uchun o‘qlarni parallel ko‘chirganda 
inersiya momentlarining o‘zgarishi. 
Agarda kesimning markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari 
ma’lum bo‘lsa, u holda
 (3.22) 
formulalar yordamida bu o‘qlarga parallel 
bo‘lgan ixtiyoriy o‘qlarga nisbatan tekis kesimning inersiya 
momentlarini topish mumkin. Oldingi 3.3 bo‘limda to‘g‘ri to‘rtburchak 
va uchburchakning markaziy va tomonlari bo‘ylab yo‘nalgan o‘qlariga 
nisbatan inersiya momentlarini hisoblash formulalari keltirilgan edi. Bu 
formulalar (3.6), (3.7), (3.12) da olingan natijalarni (3.22) foydalanib, 
tekshirib ko‘rishimiz mumkin.
 
Misol:
Agar bizga to‘g‘ri to‘rtburchakning (3.14-rasm) markaziy 
o‘qlari (x
c
, y
c
) ga nisbatan inersiya momentlari

---

88
0
,
12
,
12
3
3
=
=
=
y
x
I
h
d
I
dh
I
c
c
с
с
y
x
ma’lum bo‘lsa (3.22) formula 
yordamida uning tomonlari orqali o‘tgan x
2
, y
2
o‘qlarga nisbatan 
inersiya momentlarini topishni ko‘ramiz. 
Bu yerda:
h
d
F
d
b
h
a
=
=
=
;
2
;
2
Bu holda 
( )
3
2
12
;
3
12
4
2
12
3
2
3
2
3
3
2
3
2
2
2
hd
h
d
d
hd
F
b
I
I
dh
dh
dh
h
dh
F
a
I
I
x
y
x
x
c
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
4
2
2
0
2
2
2
2
h
d
d
h
dh
abF
I
I
c
c
y
x
y
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
Demak, parallel o‘qlarga nisbatan (3.22) formula yordamida 
inersiya momentlarni hisoblash ancha qulaylik tug‘dirar ekan. 
5- §. Koordinata o‘qlari burilganda inersiya momentlarining 
o‘zgarishi 
Bizga 
F
yuzaga ega bo‘lgan tekis kesimning (3.15-rasm) 
x
1
, y
1
sanoq sistemasida 
1
1
1
1
,
,
y
x
y
x
I
I
I
inersiya momentlari ma’lum 
bo‘lsin. 
3.15-rasm. Koordinata o‘qlari burilganda inersiya momentlarining 
o‘zgarishi.