31-Amaliy mashg’ulot. Oddiy differensial tenglamalar. Differensial tenglama ta’rifi, uning tartibi, umumiy va xususiy yechimlari. Koshi masalasi

31-Amaliy mashg’ulot.
Oddiy differensial tenglamalar. Differensial tenglama ta’rifi, uning tartibi, umumiy va xususiy yechimlari. Koshi masalasi.
31.1. Umumiy tushunchalar.
(1)
ko’rinishdagi tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda x – erkli o’zgaruvchi, – x argumentning noma`lum funksiyasi; f(x,y) esa (x,y) tekislikning biror D sohasida (soha deganda, biz bog’liqli ochiq to’plamni nazarda tutayapmiz) aniqlangan va uzluksiz funksiya.
(a,b) oraliqda aniqlangan, uzluksiz differensiallanuvchi funksiya (1) tenglamaning yechimi deyiladi, agar (a,b) oraliqda (1) tenglikni ayniyatga aylantirsa.
(2)
yechim (x,y) fazoda chiziqni aniqlaydi, shu chiziq (1) tenglamaning integral chizig’i deyiladi.
(1) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi. Bunday yechim ko’pincha (x₀,y₀) nuqtadan o’tuvchi yechim yoki integral chiziq deb ham yuritiladi.

– o’zgarmas son, (3)
funksiyalar sinfi D sohada (1) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi, agar u quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
1) Barcha larda (3) funksiyalar sinfi (1) tenglamani qanoatlantiradi;
2) C ni tanlab olish yordamida (1) ning D dan o’tuvchi ixtiyoriy yechimini (3) funksiyalar sinfidan hosil qilish mumkin.
Agar bizga (1) tenglamaning (3) ko’rinishdagi umumiy yechim ma`lum bo’lsa, unda Koshi masalasining yechimini ajratib olish mumkin. Buning uchun (3) tenglikda deb S ning shu tenglikni qanoatlantiruvchi qiymatini topish va uni (3) tenglikka olib borib qo’yish kerak. Natijaviy funksiya izlangan yechimni beradi.
Misol. funksiyalar sinfi har bir da tenglaning yechimi bo’lishini, lekin bu tenglama uchun umumiy yechim bo’la olmasligini isbotlang.
Yechimi. Funksiyaning hosilasini hisoblab tenglamaga qo’yamiz:

Berilgan funksiya ixtiyoriy C larda tenglikni ayniyatga aylantirayapti, demak, u har bir C da yechim bo’ladi. Lekin funksiyalar sinfidagi C ni tanlash hisobiga berilgan tenglamaning barcha yechimlarini hosil qilib bo’lmaydi, masalan, yechimni.
Demak, berilgan funksiyalar sinfi tenglama uchun umumiy yechim bo’la olmaydi.
Misol. funksiyalar sinfi

Tenglamaning umumiy yechimi bo’lishini isbotlang.
Yechimi. Funksiyani tenglamaga qo’yib quyidagini olamiz:

Berilgan funksiya tenglikni barcha larda ayniyatga aylantirdi.
Endi biz tenglamaning ixtiyoriy yechimini berilgan funksiyalar sinfiga tegishli ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, yechim bo’lgani uchun tenglamani qanoatlantiradi.

yoki

funksiyaning hosilasi nolga tengligini ko’rsatamiz:

Bunda esa ekanligi kelib chiqadi va demak,

Shunday qilib, berilgan funksiyalar sinfi tenglama uchun umumiy yechim ekan.