3. Normallangan fa’zoda qatorlar

Normalangan fazoda chiziqli operatorning normasi. va normalangan fazolar bo’lsin.
T a’ r i f . chiziqli operator uchun ushbu

Tengsizlikni qanoatlantiruvchi son mavjud bo’lsa, u holda operator chegaralangan deyiladi.Bu ta’rif 7.1-§ da kiritilgan chegaralanganlik ta’rifiga ekvivalent.
Teorema 4.1. chiziqli operator uzluksiz bo’lishi uchun uning chegaralangan bo’lishi zarur va kifoyadir.
Isbot. zaruriyligi uzluksiz, ammo chegaralanmagan bo’lsin deb faraz qilaylik. Bu holda ixtiyoriy natural son uchun shunday element mavjudki, ushbu

Tengsizlik bajariladi. Ravshanki, Ushbu elementni olsak,bevosita ko’rinib turibdiki, ya’ni uzluksiz bo’lgani uchun .Ammo

Demak, ziddiyat hosil bo’ladi.
Kifoyaligi. chegaralangan chiziqli operator bo’lsa, u holda ta’rifga asosan

Agar ketma –ketlik ga iniilsa, u holda
Demak,
ya’ni
Bundan operatorning nuqtada uzluksizligi va,demak,har bir elementda uzluksizligi kelib chiqadi.
Isbotlangan teoremadan fazo chegaralangan chiziqli operatorlar to’plamiga tengligi kelib chiqadi.
Ta’rif . operatorning normasi deb quyidagi songa aytiladi:

Normaning teng kuchli ta’riflari quyidagi lemmadan kelib chiqadi.
Lemma.

Isbot. Ixtiyoriy son va element uchun o’rinli, bundan

Demak,
,
ya’ni
.
Bundan bo’lganda lemma ravshan. Agar bo’lsa, ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy sinni olamiz. Ta’rifga asosan quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradigan element mavjud:

Demak, elementni olsak, u holda va
bundan
Olingan son dan kichik ixtiyoriy son bo’lgani uchun oxirgi tengsizlikdan ushbu

Tengsizlik hosil bo’ladi. Bu tengsizlikni yuqoridagi (1) tengsizlik bilan solishtirsak, isbotlanayotgan tenglik kelib chiqadi;

Masalan,3) xossani isbotlaymiz:

Demak, fazo normalangan fazodir.
Xususan, bo’lganda,uzluksiz chiziqli funksionnallar fazosi normalandgan bo’lib, bu fazodagi norma ushbu ko’rinishda aniqlanadi: