3-Мавзу: Ночизиқ тенглама учун итерация усули

Мисол 3. ,тенглама чексиз кўп ечимга эга: .Бу тенгламани кўринишда ёзиб, элементар функцияларнинг графикларини чизишдан келиб чиқади.

2.2. Аналитик усул. Илдизларни аналитик усулда ажратиш учун асосан, 1- теоремадан фойдаланамиз. Функциянинг аниқланиш соҳасини бўлакларга бўламиз. Бу бўлаклардан чеккаларида ишоралари ҳар хил бўлганларини ажратамиз. Агар бу кесмада функция монотон бўлса илдиз ягона. Масалан, тенглама учун яъни да илдиз бор; лиги учун илдиз ягона.
тенглама учун , яъни кесмаларда илдизлар бор.
ҳосила да манфий, да мусбатлиги учун кесмалардаги илдизлар ягона.
3. Итерация усули. тенгламага итерация усулини қўллаш учун уни шу қулай кўринишга келтириш керак. Фараз қилайлик да тенгламанинг ягона илдизи бўлсин. Тенгламани бирор усул билан эквивалент кўринишга келтирайлик.Яъни
.
Функция тенглама учун ҳисоблаш усулларида энг муҳим бўлган тушунча -итерацияловчи функция, итератор дейилади.
Бу ердан кўринадики, тенгламанинг ҳар қандай ечими тенгламанинг ечими бўлади. Итерация усули тенгламанинг тақрибий ва аниқ ечимлари топиш усулини беради (Теорема 3 га қаранг).
Масалан: .
Одатда қуйидагича танланади:
, (1)
(2)
(2) шарт итерация усулининг яқинлашиш шарти дейилади.
Лемма 1.Агар бўлса, (2) шартни қуйидагича бажариладиган қилиб танлаб олиш мумкин:

1. 
   агар бўлса, .
   
2. 
   агар бўлса, .
   

Исбот.Бу ушбу тенгсизликдан равшан кўринади: учун

Лемма 2. Агар бўлса, кесмада ишораси ўзгармас ҳосилали функция учун итерацияларнинг яқинлашиш шарти

бажарилади. Бу ерда “+” ишора да , “-” ишора да олинади.
Исбот.1-ҳол. . Бу ҳолда, ва
.
2-ҳол. . Бу ҳолда, ва
,
чунки .
Лемма 3. Агар, , бўлса тенглама учун яқинлашиш шарти бажарилади:
.
Итерация усулининг моҳияти қуйидагидан иборат: Ихтиёрий бошланғич қиймат (итерация, яқинлашиш) олиниб қуйидаги кетма-кетлик ҳосил қилинади:
(3)
(3) кетма-кетлик итерация кетма-кетлиги дейилади. g(x) функция итератор-итерацияловчи функция дейилади. Усулнинг моҳиятини ушбу фикр очиб беради:
Теорема 3. бўлиб, кетма-кетлик яқинлашувчи бўлсин, яъни бўлсин. У ҳолда нуқта тенглама (яъни нинг ҳам) илдизи бўлади.