3-Мавзу: Ночизиқ тенглама учун итерация усули

Теорема 1. Агар бўлса, да тенгламанинг ҳеч бўлмаганда битта ечими бор. Агар да монотон бўлса (масалан, ) бу ечим ягона.
Теорема 2. (алгебранинг асосий теоремаси- Гаусснинг олтин теоремаси) -даражали алгебраик тенглама

нинг ҳеч бўлмаганда битта ечими бор. (Карралари, комплекс қўшмаларини қўшиб ҳисобланганда бу ечимлар сони n га тенг).
тенглама ечимларини ечиш 2 та этапдан иборат бўлади.
1) илдизларни ажратиш, яъни илдизлар сони, улар жойлашган кичик оралиқларни аниқлаш;
2) ажратилган илдизларни олдиндан берилган аниқлик билан топиш.
Илдизларни ажратиш учун график ёки аналитик усул (теорема 1) ишлатилиши мумкин. Аналитик усулда шундай кесмалар топиладики, бўлсин. У ҳолда ҳар бир оралиқ да камида тоқ сонли ечим бор. График усулда функция графиги чизилиб илдиз жойлашган оралиқлар ва уларнинг сони топилади.
Ажратилган илдизларни берилган аниқлик билан топиш учун кесмани иккига бўлиш, итерация, Ньютон ва бошқа усулларидан фойдаланилади.
2. Илдизларни ажратиш.
2.1. Геометрик усул.
Агар мумкин бўлса функция графиги чизилади. Сўнг графикдан илдизлар сони ва улар ётган оралиқлар аниқланади.Агар функциянинг графигини чизиш мумкин бўлмаса тенглама эквивалент ( ; ва -функциялар) кўринишга келтирилади ва ва функциялар графиклари чизилади. Равшанки, бу графиклар кесишган нуқталарнинг абциссалари тенгламанинг ечимлари бўлади.
Мисол 1. тенгламанинг илдизлари ажратилсин.
Ечиш. Тенгламани кўринишга келтириб функциялар графигини чизамиз. Чизмадан ягона илдиз кесмада ётганини кўриш мумкин.
Мисол 2. тенглама илдизлари ажратилсин.
Ечиш. Тенгламани кўринишда ёзиб функцияларнинг графигини чизамиз. Тенгламанинг иккита ҳақиқий илдизи бор: , чунки
.