3-ma’ruza: potensial maydon. Potensial maydonda egri chiziqli integralni hisoblash. Gamil'ton (nabla) operatori. LAPLAS operatori. Garmonik maydon. Reja

Vektor maydondagi ikkinchi tartibli amallar.

Vektor maydondagi ikkinchi tartibli amallarni ko‘rami. Shuni aytib o‘tish kerakki, amallari vektor maydonlarni vujudga keltiradi, amali esa skalyar maydonni vujudga keltiradi. ko‘rsatilgan amallarning quyidagi kombinatsiyalari bo‘lishi mumkin: , bular ikkinchi tartibli amallar deyiladi. Ulardan eng muhimlarini qarab chiqamiz.

1.

Haqiqatan ham, agar vektor maydon

bo‘lsa, u holda ikkinchi tartibli aralash hosilalarning tengligi uchun

bo‘ladi. Shu natijaning o‘zini nabla-operator

yordamida ham olish mumkin, chunki bu yerda uchta vektorning aralash ko‘paytmasini hosil qilamiz: va , bularning ikkitasi bir xil. Bunday ko‘paytma nolga teng bo‘lishi ravshan.

2.

Haqiqatan,

bo‘lgani uchun ikkinchi tartibli aralash ko‘paytmalarning tengligi tufayli:

Shu natijaning o‘zini nabla-operator yordamida ham hosil qilish mumkin:

chunki bir xil vektorlarning vektor ko‘paytmasi nol vektorga teng.

3.

Haqiqatan ham,

bo‘lgani uchun

bo‘ladi.

(78) tenglikning o‘ng tomoni simvolik tarzda bunday belgilanadi:

yoki

Bunda

simvol Laplas operatori deyiladi. Bu operatorni vektorning skalyar kvadrati tarzida qarash tabiiydir.

Haqiqatan ham

Shuning uchun (79) tenglik operator yordamida

ko‘rinishda yoziladi. Shuni aytib o‘tish kerakki,

tenglama Laplas tenglamasi deyiladi. shartni bajaruvchi skalyar maydon Laplas maydoni yoki garmonik maydon deyiladi.