3-Ma’ruza Chiziqlimas tenglamalarni yechish usullari: Iterasiya va Nyuton usullari. Geometrik usullar



Download 472,27 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/2
Sana23.01.2022
Hajmi472,27 Kb.
#405973
  1   2
Bog'liq
3-maruza(1)



3-Ma’ruza 

Chiziqlimas tenglamalarni yechish usullari: Iterasiya va Nyuton usullari.

 

Geometrik 



usullar.

 Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar, Chebishev usullari.



 

Reja: 

1.

 



Iteratsiya usuli 

2.

 



Iteratsiya usulining yaqinlashish shartlari 

3.

 



Nyuton usuli 

4.

 



Vatarlar usuli 

 

Tayanch  iboralar

:

  ildizlarning  yagonaligi,  grafik  usul,  dastlabki  yaqinlashish,  iterasiya, 

boshlang’ich  yaqinlashish,  iterasiyaning  geometrik  ma’nosi,  hisoblash  xatosi,  Nyuton 

usuli  


 

Oddiy iterasiya metodi.

 Biz hozir oddiy iterasiya (yoki ketma-ket yaqinlashish) metodi 

bilan bitta sonli tenglama misolida tanishamiz. Bu metodning umumiy nazariyasn bilan keyingi 

paragrafda  tanishib  chiqamiz.  Iterasiya  metodini  qo’llash  uchun 



 

tenglama  unga  teng 

kuchli bo’lgan quyidagi 

                                                        (7) 

kanonik  shaklga  keltnrilgan  va  ildizlari  ajratilgan  bulishi  kerak.  (7)  tenglamaning  ildizi  yotgan 

atrofiing biror 

 nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi deb olamiz. Navbatdagi 

yakinlashishini  topish  uchun  (7)  ning  o’ng  tomoniga 

  ni  qo’yamiz  va  hosil  bo’lgan 

 

qiymatini 

 bilan bolg’ilaymiz, ya’ni 

.                                                      (8) 

Topilgan 

  sonni  (7)  ning  o’ng  tomoniga  qo’yib,  yangi  son 

  ni  hosil  qilamiz.  Bu 

jarayonni davom ettirib, f-yaqinlashish 



x

p

 

ni 


(p-

1)- yaqinlashish 



x

p-1

  

yordamida topamiz: 

.                                              (9) 

Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni 

                                                       (10) 

mavjud va 

 funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib,  

ya’ni 



 

ga  ega  bo’lamiz.  Bu  tenglikdan  ko’rinadlik,    berilgan  tenglamaning  ildizi  ekan.  Demak,  bu 

ildizni (9) formula yordamida istgalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, (10) limit mavjud bo’lgan 

holda iterasiya jarayoni 



yaqinlashuvchi 

deyiladi. Lekin 

 mavjud bo’lmasligi ham mumkin, 

bunday holda oddiy iterasiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi. 

Iterasiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchun 

 va 


 

funksiyalarning  grafiklarini  chizamiz.  Bu  grafiklarning  kesishgan  M  nuktasining  abssissasi  (7) 

tenglamaning 

 ildizldir. 

Faraz qilaylik, 

x

0

 

nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda 



 

nuqta 


 egri 

chiziqda  yotadi.  Bu  nuqtadan  gornzontal  (



ox 

o’qiga parallel) chiziq o’tkazamiz. Bu chiziq 



u=x 

bissektrisani 

  nuqtada  kesadi. 

 

ni 


 

bilan  belgilab  olsak, 

  nuqtaning 

koordinatalari 

  ko’rinishga  ega  bo’ladi. 

  nuqta  orqali 



ou 

o’qqa parallel to’g’ri chiziq 

0

)

(





x

f

)

(



x

x



0

x

0

x

)

(

0



x

1



x

)

(



0

1

x



x



1

x

)

(



1

2

x



x



)

.

.



.

,

2



,

1

(



)

(

1





n

x

х

n

n





n

n

x

lim


)

(

x

)

(



)

lim


(

)

(



lim

lim


1













n



n

n

n

n

n

x

x

x

)

(







n



n

x



lim

)

(



x

y



x

y





x

))

(



,

(

0



0

0

x



x

A

)



(

x

y



))

(

),



(

(

0



0

1

x



x

B



)

(

0



x

1



x

1

B

)

,

(



1

1

x



x

1

B




o’tkazsak,  u 

  egri  chiziqni 

  nuqtada  kesadi.  Bu  jarayonni  davom  ettirib, 

 

bissektrisada  yotgan 

  (bu  yerda 

) so’ng 


  egri chiziq  ustida 

 nuqtaga ega bo’lamiz va h.k. 

 

 

5-chizma



 

 

6-chizma 

 

Agar  iterasiya  jarayoni  yaqinlashsa,  u  vaqtda 



 

nuqtalar  izlanayotgan 



nuqtaga  yaqinlashadi. 



 

nuqtalarning 

  abssissalari 

 

ga,  ya’ni  (7) 

tenglamaning  ildiziga  yaqinlashadi.  Shunday  qilib,  iterasiya  metodining  geometrik  ma’nosi 

quyidagidan  iborat: 

  egri  chiziq  bilan  koordinatalar  burchagi  bissektrisaning  kesishish 

nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va 

bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar 

egri  chiziq  va  bissektrisa  5-chizmadagidek  joylashgan  bo’lsa,  u  vaqtda  siniq  chiziq  zinapoyani 

eslatadi.  Agar  egri  chiziq  va  bissektrisa  6-  chizmadagidek  bo’lsa,  unda  siniq  chiziq  spiralni 

eslatadi. 

 Iterasion jarayon uzoqlashishi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi shundan iboratki, 

zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bug’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham 



 

nuqtalar 



ga yaqinlashmaydi,



 

balki uzoqlashadi (7-8-chizmalar). 

 

 

7-chizma



 

 

8-chizma

 

 

Modomiki,  iterasiya  jarayoni  har  doim  yaqinlashavermas  ekan,  demak,  bu  jarayon 



yaqinlashishi  uchun  qanday  shartlar  bajarilishi  kerakligini    aniqlash  kata  ahamiyatga  ega.  Bu 

shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi. 

)

(

x



y



))

(

,



(

1

1



1

x

x

A



x



y

)



,

(

2



2

2

x



x

B

)

(



1

2

x



х



)

(

x



y



))

(

,



(

2

2



2

x

x

A

,...



,...,

,

1



0

n

A

A

A

,...


,

,

2



1

0

A



A

A

,...


,

,

2



1

0

x



x

x

)



(

x

y



,...

,

,



2

1

0



A

A

A


 

I-  teorema.

  Faraz  qilaylik,   



 

funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish 

  quyidagi 

shartlarni qanoatlantirsin:  

1)  

 funksiya 



                                                           (11) 

oraliqda  aiqlangan  bo’lib,  bu  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  ikkita 

  va 

  nuqtalar  uchun 



 

Lipshis shartini qanoatlatirsin: 

;                                             (12) 

2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin: 

.                                                   (13) 

U holda (7) tenglama (11) oraliqda yagona 

 ildizga ega bo’lib, 

 

ketma-ketlik bu yechimga 

intiladi va intilish tezligi 

                                                         (14) 

tengsizlik bilan aniqlanadi. 

 

  



  

 

Isbot. 

Avval induksiya metodnni 

qo’llab,

 ixtiyoriy 



uchun 


 ni ko’rish mumkinligini, 

 

ning (11) oraliqda yotishligi va 

                                                         (15) 

tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz. 

Agar 

p = 0 

bo’lsa, 


 bo’lgani uchun (15) tengsizlik (13) dan kelib chiqadi. 

Bundan tashqari, 

  bo’lgani  uchun 

 tengsizlik bajarilib, 

 (11) 

oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, 



 

lar qurilgan bo’lib, ular (11)   oraliqda yotsish va 

 

tengsizliklar  bajarilsin.  Induksiya  shartiga  ko’ra 



  (11)  da  yotadi, 

  (11)  da  aniqlangan, 

shuning uchun ham 

 ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan 

 

kelib chiqadi. Lekin 



 

va 


 

uchun induksiya shartiga ko’ra 



 

o’rinli, demak, 



Bu esa 


 va 

 uchun (15) tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat, 

 

munosabatlar 



 ning (11) oraliqda  yotishini ko’rsatadi. Shu bilan isbot qilinishi talab etilgan 

mulohaza tasdiqlanadi. 

Endi 

  ning  fundamental  ketma-ketlik  tashkil  etishini  ko’rsatamiz.  (15)  tengsizlikka 



ko’ra ixtiyriy 

 

natural son uchun 

)

(

x



0

х

)

(

х





0

x



x

x

y

)

(



x

)



1

0

(



|

)

(



)

(

|







q



y

x

q

y

x









q



x

х

n

1

,



|

)

(



|

0



}

{

n



x

n

n

q

q

x



1

|



|



n

x

n

x

n

n

n

q

x

x



|



|

1

)



(

0

1



x

х







q

1



|



|

0

1



x

х

1

x



n

x

x

x

,...,


,

2

1



)

1

,...,



1

,

0



(

|

|



1





n

k

q

x

x

k

k

k



n



x

)

(



x

)



(

1

n



n

x

x



1

1



1

|

)



(

)

(



|

|

|









n



n

n

n

n

n

x

x

q

x

x

x

x



1



n



x

n

x

1

1



|

|





n

n

n

q

x

x



n



n

n

q

x

x



|



|

1

1





n

x

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

q

q

q

q

q

q

x

x

x

x

x

x

x

x

















1

1

1



.

.

.



|

|

.



.

.

|



|

|

|



|

|

1



1

0

1



1

1

0



1





1



n



x

}

{



n

x

p


 

yoki  


.                                                   (16) 

Bu tengsizlikning o’ng tomoni 



 

ga bog’liq bo’lmaganligi va 

 bo’lganidan 

 

ketma-


ketlikning fundamentalliga va uning limiti 

 

mavjudligi kelib chiqadi. 



 

ketma-ketlik 

(11) oraliqda yotgani uchun ham shu oraliqda yotadi. (12) shartdan 

 ning uzluksizligi kelib 

chshqadi,  shuning  uchun  ham 

  tenglikda  limitga  o’tib, 

  (7)  tenglamaning  ildizi 

ekanligini isbot qilamiz. 

Endi 

  ildizning  (11)  oraliqda  yagonaligini  isbotlaymiz.  Faraz  qilaylik, 



  (7) 

tenglamaning (11) oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin, 

 ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, 

(6)


 

ga ko’ra 

 bo’lgani uchun bu munosabat faqat 



 bo’lgandagina bajariladi. 

Yaqinlashish  tezligini  ko’rsatuvchi  (14)  tengsizlikni  keltirib  chiqarish  uchun  (16) 

tengsizlikda 

 

limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi. 




Download 472,27 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish