3-amaliy mashg’ulot. Tekislikda elementar to’plamlar va ularning o’lchovi. Darsning rejasi

3-amaliy mashg’ulot. Tekislikda elementar to’plamlar va ularning o’lchovi.


Darsning rejasi:
1. Mavzuga doir ta’riflarni keltirish.
2. Mavzuga doir misollar ishlab ko’rsatish.
3. Mavzu doirasida talabalarning olgan bilimlarini baholash.
Adabiyotlar: [1],[2], [3], [9]


1-misol. 3.10-misolda keltirilgan Kantor to‘plami ning Lebeg o‘lchovi nolga teng ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Kantor to‘plami ning o‘lchovi nolga tengligi tenglikdan kelib chiqadi. Barcha chiqarib tashlangan intervallar uzunliklari yig‘indisi

Bu yerda – n - qadamda tashlab yuborilgan intervallar birlashmasi. Demak,
5.4-misol. funksiyani kesmada quyidagicha aniqlaymiz. to‘plam va uning chegarasida

to‘plam va uning chegaralarida

SHuningdek

to‘plam va uning chegaralarida

Xuddi shunday to‘plamning intervali va uning chegarasida

kesmaning qolgan nuqtalariga ni uzluksiz davom ettiramiz. Hosil bo’lgan funksiya Kantorning zinapoya funksiyasi deyiladi(5.3-chizmaga qarang). Kantorning zinapoya funksiyasi kesmada aniqlangan, uzluksiz, monoton kamaymaydigan funksiya bo‘ladi. Xususan,
2-misol. funksiya yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o‘lchovi absolyut uzluksiz o‘lchov bo‘ladi. Ushbu Lebeg-Stiltes o‘lchovi bo‘yicha to‘plamning o‘lchovini hisoblang.
Yechish. Ta’rifga ko‘ra

3-misol. funksiya yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes o‘lchovi diskret o‘lchov bo‘ladi. Chunki funksiya monoton kamaymaydigan o‘ngdan uzluksiz funksiya bo‘lib, uning qiymatlar to‘plami butun sonlar to‘plami dan iborat. Butun sonlar to‘plami esa sanoqli to‘plamdir. Bu o‘lchov bo‘yicha to‘plamning o‘lchovini toping.