3-4-mavzular

1. Divergensiya va uning fizik ma’nosi.

Faraz qilaylik bizga S – sohada harakatlanayotgan suyuqlik zarrachalarining tezligini ifodalovchi vektor berilgan bo’lsin. vektor maydon va uning xususiy hosilalari S sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib vektor maydon koordinata o’qlarining yo’naltiruvchilari orqali berilgan bo’lsin.

Ma’lumki, S sohaning sirtidan oqib o’tayotgan vektorning maydon oqimi sirt integrali bilan hisoblanadi. Bu sirt integrali vektor ko’rinishda Ostrogradskiy formulasining chap tomonidan

Bu yerda V – S bilan chegaralangan hajmdir. Shu formuladagi uch karrali integral ostidagi ifoda vektor maydonning divergensiyasi (tarqalishi) deyiladi va div deb yoziladi.

Buni hisobga olib (1) ni quyidagicha yozamiz.

Bu tenglik vector maydonning asosiy muhim tushunchasini vector matdonning oqimi sohaning ichkarisida joylashgan divergensiyadan olingan uch karrali integralga teng ekan.

Agar oqim ni П bilan belgilasak va nisbatni qarasak, agar П>0 bu nisbat oqib kelayotgan suyuqlikni o’rtacha zichligini ifodalaydi, aksincha agar П<0 bo’lsa, oqib chiqayotgan suyuqlikning zichligini ifodalaydi

V sohani shu sohada qandaydir M nuqtaga siqib keltiramiz, u holda ning limiti M nuqtadagi vektor maydonning div (M) deyiladi va shaklda yoziladi.

Divergensiyaning gidrodinamik ma’nosi shundan iboratki, suyuqlikning turg’un oqimi va uning zarrachalarining tezliklari maydoni ni qaraganimizda suyuqlik V sohadan oqib o’tayotgan holda bu sohani chegaralovchi S sirtni ikkita S₁ va S₂ qismlarga bo’lsak, S₁dan suyuqlik kirayotgan bo’lsa, ikkinchi qism S₂ dan dan suyuqlik chiqayotgan bo’lsa u holda yopiq S sirtdan o’tuvchi tezliklar maydoni oqimi ushbu

bo’ladi.

Demak, V sohani chegaralovchi σ sirtdan o’tayotgan suyuqlik tezliklari maydon oqimi V sohadagi suyuqlik hajmining sarfiga teng ekan.

Divergensiyaning (3) formuladagi ko’rinishiga asosan, suyuqlik tezligi maydonning divergensiyasi shu nuqtadagi birlik hajmga mos keluvchi suyuqlik sarfini bildiradi deb aytish mumkin ekan.

Agar tezliklar maydonning har bir nuqtasida divergensiya nolga teng bo’lsa, u holda suyuqlik kengaymaydi ham, siqilmaydi ham. Bunga misol sifatida oquvchi suvni qarash mumkin. Shu sababli kichik tezliklar aeromexanikasida divergensiya nolga teng deb qaraladi.

Agar biz (3) formulaga e’tibor qilsak, uning chap tomoni V sohani chegaralovchi σ sirtdan o’tayotgan maydon oqimini bildirsa, o’ng tomoni V sohadagi maydon sarfini bildiradi. Bu holda quyidagi Ostrogradskiy teoremasi o’qinli bo’ladi.

Teorema. Yopiq σ sirtdan o’tayotgan maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan V sohadagi maydon sarfiga teng.

Endi divergensiyaning xossalarini keltiramiz.

1⁰

Isbot. Agar bo’lsa,

2⁰ div(m )=m div (m=const)

Isbot. Haqiqattan ham bo’lsa, u holda bo’ladi

3⁰

Isbotini talabalarga mustaqil ish uchun qoldiramiz.

Misol. vektor maydonning divergensiyasi topilsin.

Yechish. bo’lganidan u holda divergensiya formulasiga ko’ra div =6xy-1+2z=6xy+2z-1 bo’ladi.