3-§. n o'lchovli affin va vektor fazolarini o'rganish

1-teorema. ning ustma-ust tushgan ikki nuqtasiga ning nol vektori mos keladi, ya’ni .
Isbot. bo’sin. A, A nuqtalarga dan biror mos kelsin: ni olsak, ga asosan, shunday B nuqta mavjudki, endi ni tadbiq qilsak Bundan ga asoasan
2-teorema. .
Isbot. desak, ga asosan .
3-teorema. .
Isbot. ga asosan

Lekin =-k - bundan va yuqoridagi tenglikdan k .
Endi affin koordinatalar sistemasi tushunchasini kiritaylik, da ixtiyoriy bir O nuqtani olaylik, ning biror ( bazisining barcha vektorlari O nuqtadan qo’yilgan bo’lsin, natijada O nuqta va basis vektorlaridan tashkil topgan ( to’plam hosil bo’ladi. Bu to’plam affin koordinatalar sistemasi deb atalib, uni O nuqta koordinatalar boshi, koordinata vektorlari deb ataladi.
Affin koordinatalar sistemasi deyish o’rniga bundan buyon qisqacha affin reper deymiz. Demak, affin reper ikki turdagi obyektdan –nuqta va vektorlardan tashkil topgan sistemadir. ning ixtiyoriy M nuqtasini olsak va affin reper ma’lum bo’lsa, vector hosil qilinib, bu vektor M nuqtaning radius-vektori deb ataladi.
U holda bo’lgani uchun uning bazisdagi vektorlarini
desak,
(1)
Ta’rif. M nuqta radius-vektorlarining koordinatalari shu nuqtaning affin koordinatalari deb ataladi: u ) ko’rinishida belgilanadi, demak (1) ).
Xususiy holda = , = ,.. = bo’lsa, avvalgi mavzularga asosan
. dagi affin reperga nisbatan ), )
Nuqtalar berilgan bo’lsin. yoki ga asosan bazis vektorlar orqali ifodalaylik:

Bundan