3-§. n o'lchovli affin va vektor fazolarini o'rganish

Natija 2.1. vektorlar komplanar bo‘lishi uchun
(2.3.8)
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.

2.11- misol.
Berilgan , , vektorlarni chiziqli erklilikka tekshiring.
► Agar uch vektor komplanar bo‘lsa, ular chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Chunki tekislikda har qanday uch vektor chiziqli bog‘liqdir. Berilgan vektorlarni komplanarlikka tekshirish kifoya.
.
Demak, berilgan vektorlar chiziqli erkli ekan.◄

Natija 2.2. Agar bo‘lib, bu vektorlar komplanar bo‘lmasa, u holda ularga qurilgan parallelepiped hajmi formula o‘rinli. Unda musbat ishora o‘ng uchlikni, manfiy ishora shu lar chap uchlikni tashkil etganda olinadi.

2.12- misol.
Berilgan , , vektorlardan tuzilgan piramidaning hajmi 8 ga teng bo‘lsa, ni toping.
► (2.3.7) ko‘ra, aralash ko‘paytmani topamiz.
.
bo‘lgani uchun va (2.3.6) dan, , .
U holda, va .◄

3-§. n o'lchovli affin va vektor fazolarini o'rganish
vektor fazo va elementlari nuqtalar deb ataladi. to'plam berilgan bo'lsin. to'plam bilan to'plam orasidagi shunday moslik o'rnatamizki, ma'um tartibda olingan ikki M,N nuqta uchun dagi aniq bitta vektor mos kelsin, buni deb belgilaymiz. Lekin shuni ta'kidlash zarurki, dagi har bir vektorga da nuqtalarning tartiblangan turli juftliklari mos kelishi mumkin. Masalan, , bunda M, N, P, Q, K, L larning barchasi ga tegishlidir.
yozuvini quyidagicha ifodalaymiz: vektorni M nuqtadan qo'yish bilan N nuqta hosil qilinadi.
Yuqorida keltirilgan bilan orasidagi moslikning ikki aksiomani qanoatlantirish talab etiladi.
. M va uchun yagona shunday N mavjudki, uning uchun .
. A, B, C uchun
Bu ikki aksioma ba'zan vektorni nuqtadan boshlab qo'yish aksiomalari deb yuritiladi.
Ta'rif. Elementlari yuqoridagi aksiomalarini qanoatlantiruvchi bo'sh bo'lmagan to'plam n o'lchovli haqiqiy affin fazo deb ataladi. Uni orqali belgilaymiz. Agar vektor fazo kompleks vektor fazo bo'lsa, u holda ham kompleks affin fazo deb ataladi.
Demak, n o'lchovli affin fazoni simvolik ravishda quyidagi ko'rinishda yozish mumkin: .
vektor fazo ning eltuvchisi deyiladi.
Xususiy holda, n=2 bo'lsa, ikki o'lchovli affin fazo bo'lib, ning elementlarini odatdagi geometrik fazolar deb olsak, affin tekislik hosil bo'ladi.
Misol tariqasida quyidagi teoremalarni isbotlaylik,