27. Differensial tenglamalar sistemalari. Differensial tenglamalar sistemasini normal ko’rinishga keltirish

Misol. sistemasini yeching.
Yechilishi. Xarakteristik tenglamasi
yoki
bo’lib, uning ildizlari Endi ga mos keluvchi kompleks yechimni tuzamiz : . Buni sistemaga qo’yib, ga qisqartirib, keyin ga ga nisbatan tenglamasiga ega bo’lamiz . Mayli bo’lsin, u holda bo’lib, kompleks yechim

bo'ladi. Bu kompleks yechimning haqiqiy va mavhum bólaklarga ajratib, ikkita haqiqiy chiziqli bog’liqli

ko’rinishidagi yagona yechimlarga ega bo’lamiz. Bunda umumiy yechim,

ko’rinishida yoziladi.
33. O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli sistema.
Eyler usuli. Хarakteristik tenglamaning ildizlari karrali
Agar
(1)
sistemasiда barcha koeffitsientlar o’zgarmas bo’lsa, bir jinsli chiziqli sistemasi o’zgarmas koeffitsientli deb ataladi.
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar har doim elementar funksiyalardan iborat fundamental yechimlar sistemasiga ega bo’ladi.
Fundamental yechimlar sistemasi bo’yicha yechimlar sistemasini tuzishning asosiy usuli Eyler usuli bo’lib hisoblanadi. Eyler usuliga muvofiq (1) sistemaning yechimi
(2)
ko’rinishda izlanadi, bu yerda va qiymatlari aniqlanishi kerak bo’lgan ayrim o’zgarmas sonlar. Bu noma’lumlarni aniqlash uchun (2) ni (1) dagi o’rinlariga olib borib qo’yamiz va ga qisqartirib,
(3)
ko’rinishdagi noma’lumlarga nisbatan bir jinsli algebrik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistema nollik emas yechimga ega bo’lishi uchun soni
(4)
tenglamaning ildizi bo’lishi kerak. Bu (4) tenglama (1) sistemaning xarakteristik tenglamasi, uning ildizlari ushbу sistemaning xarakteristik sonlari deb ataladi.
(4) xarakteristik tenglamaning ildizlari orasidagi karrali ildizlar bo’lgan holat. Mayli ildizi k karrali ildiz bo’lsin. U holda ushbu k karrali ildizga mos keluvchi yechim
(5)
ko’rinisha ega bo’ladi, bunda lar darajasi k-1 dan katta bo’lmagan bazibir ko’phadlar. Bu ko’phadlarning noma’lum koeffitsientlarini toppish uchun (5) tenglamani (1)sistemaga olib borib qo’yamiz va x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarini taqqoslaymiz.