22-ma’ruza. Eng qisqa yo’lni topish algoritmlari (2 soat). Reja

Dastlabki qadam. Manbaga (1 belgili uchga) qiymatni mos qo‘yamiz va to‘plamga ega bo‘lamiz. Shuning uchun, bo‘ladi.
Umumiy qadam. 1- iteratsiya. va bo‘lgani uchun boshlang‘ich uchi to‘plamga tegishli, oxirgi uchi esa to‘plam elementi bo‘lgan barcha yoylar to‘plami ga ega bo‘lamiz. to‘plamga tegishli bo‘lgan har bir yoy uchun ning qiymatlarini topamiz:
yoy uchun ;
yoy uchun ;
yoy uchun .
Bu , va miqdorlar orasida eng kichigi bo‘lgani uchun yoyni ajratamiz (3- shaklda bu yoy qalin chiziq bilan belgilangan) va belgili uchga qiymatni mos qo‘yamiz. Algoritmga ko‘ra uchni to‘plamdan chiqarib, to‘plamga kiritamiz. Natijada² va to‘plamlarga ega bo‘lamiz.
Ikkala uchi ham to‘plamga tegishli bo‘lgan bitta yoy bo‘lgani uchun faqat bitta tengsizlikning bajarilishini tekshirish kifoya. Bu tengsizlik ko‘rinishdagi to‘g‘ri munosabatdan iborat bo‘lgani uchun 2- iteratsiyaga o‘tamiz.
2- iteratsiya. bo‘lgani sababli , , va qiymatlarni va ekanligini aniqlaymiz. Bu yerda eng kichik qiymat yoyga mos keladi. Shuning uchun, yoyni ajratamiz va qiymatni belgili uchga mos qo‘yamiz. belgili uchni to‘plamdan chiqarib, to‘plamga kiritgandan so‘ng va to‘plamlar hosil bo‘ladi.
Ikkala uchi ham to‘plamga tegishli bo‘lgan uchta , va yoylardan birinchisi uchun tengsizlikning bajarilishi 1- iteratsiyada tekshirilganligi va , qiymatlarning o‘zgarmaganligi sababli faqat ikkinchi va uchinchi yoylarga mos va munosabatlarni tekshirish kifoya. Bu munosabatlar va ko‘rinishda bajariladi. Shuning uchun 3- iteratsiyaga o‘tamiz.
3- iteratsiya. Boshlang‘ich uchi to‘plamga tegishli, oxiri esa to‘plamga tegishli bo‘lgan yoylar to‘rtta: , , va . Shu yoylarga mos ning qiymatlari , , , va, shuning uchun, bo‘ladi. Demak, bu iteratsiyada yoyni ajratamiz va deb olamiz. Endi, algoritmga ko‘ra, va to‘plamlarni hosil qilamiz.
Ikkala uchi ham to‘plamga tegishli bo‘lgan yoylar oltita: , , , , va . Bu yoylarning har biri uchun tengsizlikning bajarilishini tekshirishimiz kerak. Lekin, 1- va 2- iteratsiyalarda , va yoylar uchun bu ish bajarilganligi sababli tekshirishni tarkibida belgili uch qatnashgan , va yoylar uchun amalga oshirib, quyidagilarga ega bo‘lamiz: yoy uchun munosabat to‘g‘ri ( ), yoy uchun munosabat to‘g‘ri ( ), lekin yoy uchun munosabat noto‘g‘ri ( ). Oxirgi munosabatni hisobga olib, algoritmga ko‘ra o‘rniga deb olamiz va yoyni ajratilgan deb, ilgari ajratilgan yoyni esa ajratilmagan deb hisoblaymiz (3- shaklda yozuvning va yoyning qalin chiziq’i ustiga ajratilganlikni inkor qiluvchi belgisi qo‘yilgan).