202-guruh(kechki) guruh

Birinchi tur xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari

2-ta’rif: Agar (2) limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda (1) xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.
(1) xosmas integralni qarashda ikkita masala paydo bo‘ladi.
I. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash;
II. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lgan holda uning qiymatini topish.
Misol sifatida ushbu I tur xosmas integralni qaraymiz:
(3)
Bu integralni uch holda tahlil etamiz.

1. 
   Dastlab α>1 holni qaraymiz. Bu holda xosmas integral ta’rifi va Nyuton – Leybnits formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:
   

Demak, bu holda qaralayotgan (3) xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati a^1–α /( α–1) bo‘ladi.

2. 
   Endi α=1 holni tahlil etamiz:
   

.
Demak, bu holda (3) xosmas integral uzoqlashuvchi.

3. 
   α<1, ya’ni 1–α>0 holni ko‘rib chiqamiz:
   

.
Demak, bu holda ham (3) xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.
Shunday qilib, (3) xosmas integral α>1 holda yaqinlashuvchi, aks holda, ya’ni α≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, tekislikdagi

chiziqlar bilan chegaralangan yarim cheksiz geometrik shakllar α>1 holda qiymati S=a^1–α /( α–1) bo‘l gan chekli yuzaga ega (1-rasmga qarang).


a

1-rasm

Aksincha, α≤1 bo‘lganda esa bu geometrik shakllar cheksiz yuzaga ega bo‘ladi.

Ko‘p hollarda (1) xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo‘lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va, yaqinlashuvchi bo‘lgan holda, qiymatini baholash yetarlidir. Bunday hollarda quyidagi teoremalardan foydalaniladi.