2-Siljishli masala

Kasr tartibli integro-differensial operatorlarning Mellin integral almashtirishlari. J.Sh.Mamayusupov X.N.Qosimov

1. Mellin integral almashtirishlari.

Ma’lumki integral almashtirishlar quyidagi ko’rinishda aniqlanadi .

(1)

Bu yerda – berilgan funksiya (almashtirish yadrosi), –qandaydir funksiyalar sinfidan olingan funksiyaning asli (originali), funksiyaning obrazi yoki funksiyaning almashtirishdagi qiymati deyiladi. funksiyaning Mellin integral almashtirishi

(2)

formula bilan, teskari Mellin integral almashtirishi esa

(3)

tenglik bilan aniqlanadi .

Agar funksiya bilan uning Mellin almashtirishi orasidagi bog’lanishini kabi belgilasak u holda quyidagi umumiy formulalar o’rinli bo’ladi:

(4)

(5)

Umumiy xolda

(6)

Bu yerda

2. Kasr tartibli integro-differensial operatorlarning Mellin integral operatorlari Umumiy ko'rinishdagi formulalar.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Integro-differensial operatorlarni quyidagicha kiritamiz.

bu yerda teng.

1-Lemma. Tarifga ko’ra

hosil qilamiz. Bu ifodaga Dirixle formulasini qo’llab, ichki integralda y=zt almashtirishni bajarib

(7) ifodani hosil qilib olamiz

2-Lemma. bo’lsin. U xolda (8) tenglik barcha funksiya uchun o'rinli.

Isbot. (8) tenglikning chap tomoni ko'rinishda yozib olamiz. Bu yerda belgilab olamiz. Yuqorida keltirilgan (7) formulaga ko'ra ifodani yozib olamiz. U xolda

demak (8) formula o'rinli ekan. 3- Lemma. Agar bo'lsa, deyarli hamma (9) tengliklar o'rinli bo'ladi. Isbot. (7) formulaga (9) tengliklarga ko'ra ifodani hosil qilamiz. Shunga o'xshash ifodani olamiz. Natijada (9) tenglik to'g'ri ekanligi isbotlandi.

4-Lemma. Agar va bo'lsa, u xolda deyarli hamma uchun (10) tenglik o'rinli bo'ladi.

Isbot. (10) tenglikka (7) va (4) formulani ketma-ket qo'llab

tenglik hosil bo'ladi.

Yuqoridagiga o'xshab (10) tenglikka (7) va (4) formulani ketma-ket qo'llab ifodani olamiz demak (10) tenglik o'rinli lemma isbotlandi.

5-Lemma . Agar va bo'lsa, u xolda deyarli hamma uchun quyidagi (11) tenglik o'rinli bo'ladi. Isbot. (11) tenglikni o'ng tomoniga (7) va (4) formulani qo'llab natijani olamiz va chap tomoniga (7) va (4) formulani ketma-ket qo'llab belgilab olamiz. endi belgilab olgan ifodamizni hisoblaymiz va shu ifoda hosil boladi demak o'ng va chap tomonlar teng demak (11) tenglik o'rinli ekan.