2-Mustaqil ishi Bajardi: J. Shodmonov Qabul qildi: A. Ravshanov Mavzu

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU
Qarshi filiali TT va KT fakulteti
AX_12_20 guruh talabasi Shodmonov Javohirbekning Algoritmlarni loyihalash fanidan





2-Mustaqil ishi
Bajardi: J . Shodmonov
Qabul qildi: A. Ravshanov

Mavzu: Taqribiy integrallash usullarini aniqligi va hisoblash hajmi bo’yich taqqoslash

Reja :

1. 
   Taqribiy integrallash usullarini aniqligi va hisoblash hajmi bo’yich taqqoslash
   
2. 
   Algebraraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullarini yaqinlashish tezligi bo’yicha baholash
   
3. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini taqribiy yechish usullari. Yaqinlashish shartlari
   

1. Demak, chegaralari mos keladigan integralning qiymati nolga teng ekanligini ko'ramiz. Bu Riman integralining natijasidir, chunki [a oraliqdagi istalgan bo'lim uchun har bir integral yig'indisi s; a] va har qanday nuqta tanlash z i nolga teng, chunki x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, demak, integral funksiyalar chegarasi nolga teng ekanligini olamiz.

Ta'rif 2 :

Segmentda integrallanadigan funksiya uchun [a; b], ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x sharti bajariladi.

Isbot 2
Boshqacha qilib aytganda, agar integrasiyaning yuqori va pastki chegaralari joylarda almashtirilsa, u holda integralning qiymati uning qiymatini teskari tomonga o'zgartiradi. Bu xususiyat Riman integralidan olingan. Biroq, segmentning bo'linishini raqamlash x = b nuqtadan keladi.

Ta'rif 3
∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x [a oraliqda aniqlangan y = f (x) va y = g (x) tipidagi integrallanuvchi funksiyalar uchun ishlatiladi; b].

Isbot 3
y = f (x) ± g (x) funksiyaning integral yig‘indisini z i nuqtalar tanlovi bilan segmentlarga bo‘lish uchun yozing: s = ∑ i = 1 nf z i ± g z i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (z i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng z i xi - xi - 1 = s f ± s g

Bu erda s f va s g - segmentning bo'linishi uchun y = f (x) va y = g (x) funktsiyalarning integral yig'indisi. l = m a x i = 1, 2, da chegaraga o'tgandan keyin. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 dan lim l → 0 s = lim l → 0 s f ± s g = lim l → 0 s g ± lim l → 0 s g bo‘lishini olamiz.

Rimanning ta'rifiga ko'ra, bu ifoda ekvivalentdir.

Ta'rif 4
Aniq integral belgisidan tashqari doimiy omilni bajarish. [a oraliqdan integrallanuvchi funksiya; b] ixtiyoriy qiymati k bo‘lgan ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi haqiqiy tengsizlikka ega.

Isbot 4
Aniq integral xossasining isboti avvalgisiga o'xshaydi:

s = ∑ i = 1 nk f z i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf z i (xi - xi - 1) = k s f ⇒ lim l → 0 s = lim l → 0 ( k s f) = k lim l → 0 s f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Ta'rif 5
Agar y = f (x) ko‘rinishdagi funksiya ∈ x, b ∈ x ga ega bo‘lgan x oraliqda integrallanadigan bo‘lsa, ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d bo‘lishini olamiz. x.

Isbot 5
Mulk c ∈ a uchun rost deb hisoblanadi; b, c ≤ a va c ≥ b uchun. Isbot oldingi xususiyatlarga o'xshaydi.

Ta'rif 6
Funksiya segmentidan integrallash imkoniyatiga ega bo‘lganda [a; b], u holda u har qanday ichki segment c uchun bajarilishi mumkin; d ∈ a; b.

Isbot 6
Dalil Darboux xossasiga asoslanadi: agar segmentning mavjud bo'limiga nuqta qo'shsak, u holda pastki Darboux yig'indisi kamaymaydi va yuqorisi ko'paymaydi.

Ta'rif 7
Funktsiya [a; b] dan f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 har qanday x ∈ a qiymati uchun; b, u holda ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ekanligini olamiz.

Xususiyatni Rieman integralining ta'rifi yordamida isbotlash mumkin: f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 bo'lishi sharti bilan segmentning bo'linish nuqtalari va z i nuqtalarining istalgan tanlovi uchun har qanday integral yig'indini olamiz salbiy.

Isbot 7
Agar y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [a segmentida integrallansa; b] bo'lsa, quyidagi tengsizliklar to'g'ri deb hisoblanadi:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, agar va f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, agar va f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Bayonot tufayli biz integratsiyaga ruxsat berilganligini bilamiz. Bu xulosa boshqa xususiyatlarni isbotlash uchun ishlatiladi.

Ta'rif 8
Integrallanuvchi funksiya bilan y = f (x) segmentdan [a; b] ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi haqiqiy tengsizlikka egamiz.

Isbot 8
Bizda shunday bor - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Oldingi xususiyatdan biz tengsizlikni had bo‘yicha integrallash mumkinligini va u - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi tengsizlikka mos kelishini oldik. Bu qo‘sh tengsizlikni boshqa ko‘rinishda ham yozish mumkin: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Ta'rif 9
y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [a segmentidan integrallashganda; b] har qanday x ∈ a uchun g (x) ≥ 0; b, m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz, bu erda m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x).

Isbot 9
Tasdiqlash xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. M va m [a segmentidan aniqlangan y = f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati hisoblanadi; b], keyin m ≤ f (x) ≤ M. Ikki karrali tengsizlikni y = g (x) funktsiyaga ko'paytirish kerak, bu m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ko'rinishdagi qo'sh tengsizlikning qiymatini beradi. Uni segmentga birlashtirish kerak [a; b], keyin biz isbotlanishi kerak bo'lgan tasdiqni olamiz.