2-Мавзу: Кўпҳадларнинг илдизлари. Каррали кўпайтувчилар. Берилган майдондаги келтириладнган ва келтирилмайдиган кўпҳадлар

Теорема (Бсзу теоремаси). f(x) кўпҳадни х-с чизиқли иккиҳадга бўлишдан чиққан қолдиқ f(x) кўпҳаднинг х=с нуқтадаги қиймати f(c) га тенг.
Исботи. Агар биз f(х) ни х-с га бўлсак, қолдиқ 0 ёки нолдан фарқли ўзгармас r cонига тенг бўлади, яъни
f(x)=(x-c)q(x)+ r. (1)
Бу тенгликда х=с деб олсак, f(c)=(c-c)q(c)+r ёки f(c)=r ҳосил бўлади. Теоремадан қуйидаги натижа келиб чиқади:
Натижа. х=с нинг f(x) кўпҳаднинг илдизи бўлиши учун f(x) нинг х-с га қолдиқсиз бўлиниши зарур ва етарлидир.
Исботи. а). Зарурлиги. х=с f(х) кўпҳаднинг илдизи бўлсин. У ҳолда f(c)=0 ва (1) дан r=0, f(x) =q(x) (х-с) яъни f(x) кўпҳад (х-с) га бўлинади.
b). Етарлилиги. Фараз қилайлик, f(х) кўпҳад (х-с) га қолдиқсиз бўлинсин, яъни f(x) =q(x)(х-с) бўлсин. Агар бу тенгликда х=с деб олсак, f(c)=0 га эга бўламиз, яъни х=с нуқта илдизи.
Шундай қилиб, f(x) кўпҳаднинг илдизларини ахтариш унинг чизиқли кўпайтувчиларини ахтаришга тенг кучли экан.
Горнер схемаси ва унинг тадбиқлари.
f(х) кўпҳадни х-с га бўлишни қуйидаги Горнер схемаси деб аталувчи схема ёрдамида бажариш анча қулай. (1) да q(x)=b₀ х^n-1 + b₁ х^n-2 + ...+ b_n-1 бўлсин. У ҳолда (1) нннг чап ва ўнг томонидаги х нинг бир хил даражалари олдидаги коэффициентларни тенглаштириб, қуйидагиларга эга бўламиз:
а_о = b_о, a₁ =b₁-cb₀, a₂ = b₂-cb₁, ... ,a_n-1 = b_n-1-cb_n-2, a_n = r-cb_n-1
Булардан
b_o = a₀, b₁= a₁+ cb₀, b₂= a₂+ cb₁, ... , b_n-1 = a_n-1+ cb_n-2, r = a_n + cb_n-1.

		ао	a1	а2	…		an-1			an
х=с		bo = а0	a1+ cbo	b2= а2+ cb1	…		bn-1= an-1 + cbn -2			r = an + cbn-1
	Мисол. 3) f (х) =2х^5 - х^4 -Зх^3 + х -3 кўпҳадни х-3 га бўлинг.
		2	-1	-3	0			1	-3
	х=3	2	5	12	36			109	324

Буни қуйидагича бажариш мумкин:

Демак, q(x)= 2х⁴ + 5х³ + 12х² + 36х +109, r = 324.

Шуни ҳам таъкидлаш керакки, Горнер схемаси ёрдамида нафақат кўпхаднинг берилган нуқтадаги қийматнни ва бўлинманинг коэффициентларини ҳисоблаш мумкин, балки кўпҳаднинг барча тартибли ҳосилаларининг ҳам шу нуқтадаги қийматларини топиш ва уни х-с нинг даражалари бўйича ёйиш ҳам мумкин.
4-мисол. f (х) =х⁵ -х + 1 кўпҳадни х+1 нинг даражалари бўйича ёйиб ёзинг.
Горнер схемасига кўра

	1	0	0	0	-1	1
x=-1	1	-1	1	-1	0	1
x=-1	1	-2	3	-4	4
x=-1	1	-3	6	-10
x=-1	1	-4	10
x=-1	1	-5
x=-1	1

эканлигини кўриш қийин эмас. Шунинг учун математик анализ курсидан маьлум бўлган Тейлор формуласига асосан

f(x) = f(с) + + (c) (х - с) + +…+ +….
Бундан
f(х) =1+4(х+1) - 10(х+1)² +10 (х+1)³ -5 (х+1)⁴ + (х+1)⁵.


3. Каррали илднзлар ва каррали кўпайтувчнлар.
Агар f(x ) кўпҳад х-с нинг k-даражаси (х-с)^к га бўлиниб, (х-с)^k+1 га бўлнимаса, у ҳолла х=с сони f(х) кўпҳад учун к каррали илдиз дейилади. Бу холда (х-с)^к га эсa f(x) нинг к каррали кўпайтувчиси дейилади.
Хусусий ҳолда k =1 бўлса, х=с f(х) учун оддий илдиз бўлади. Биз қаралаётган F майдоннинг характеристикаси р сони к нинг бўлувчиси эмас деб (чекли майдонлар учун) ёки майдоннинг характеристикаси нолга тенг (сонли (чексиз) майдонлар учун) деб қараймиз. У ҳолда ушбу теорема ўринли:
2-теорема. Агар х=с берилган f(x) кўпҳад учун к каррали илдиз бўлса, у ҳолда унинг хосиласи учун (k-1) каррали илдиз бўлади.
Исботи. Ҳакикатдан ҳам х=с f(х) учун к каррали илдиз бўлса, у ҳолда таърифга кўра
f(x)=(х-с)^к (2)
деб ёза оламиз. Бунинг иккала томонидан х бўйича ҳосила олсак,
f(x)= к(х-с)^k-1 + (x-c)^k (3)
ҳосил бўлади. (3) дан
f(x)= [к + (х-с) ] (х-с)^k-1
(2) га асосан (4) даги квадрат қавс ичидаги ифода (х-с) га бўлинмайди. Шунинг учун ҳам х=с f(х) учун (к-1) каррали илдиз бўлади.
Натижа. Агар х=с f(x) кўпҳаднинг k каррали илдизи бўлса, унинг s-тартибли ҳосиласи , учун k-s каррали илдиз бўлади.
Дсмак, бу ҳолда f^(k) (х) учун х=с илдиз бўлмайди (k>s).
Кўпҳад илдизларининг карралилигини аниқлашда ҳам Горнер схемасидан фойдаланиш мумкин.
5-мисол. f(х)= х⁴ -2х³ + 2х -1 кўпҳад учун х=1 неча каррали илдиз бўлади. Горнер схемасини тузамиз:

	1	-2	0	2	-1
х=1	1	-1	-1	-1	0
х=1	1	0	-1	0
х=1	1	1	0
х=1	1	2
х=1	1

Демак, f(1)=0, . Шунинг учун ҳам х=1 сони f(x) кўпҳад учун 3 каррали илдиз.
4. Ёйилмалар майдони.
Агар бизга F майдондаги п- даражали f(x) кўпҳад берилган бўлса, шу кўпҳад F майдонда кўпҳад илдизларининг максимал сони ҳақидаги теоремага кўра п тадан ортиқ бўлмаган илдизларга эга.
Агар f(x) нинг илдизлари лар бўлса, у ҳолда
f(x)=a_o(x-α₁)(x-α₂)...(x-α_n) (5)
кўринишда ёйиб ёзиш мумкин бўлади.
Агар f(x) ни берилган F майдонда (5) кўринишда ёзиш мумкин бўлса, у ҳолда F га f(х) кўпхад учун ёйилмалар майдони деб аталади.(5) да бир хил кўпайтувчиларни йиғсак,

ҳосил бўлади.
5. Келтирнладиган ва келтирилмайдиган кўпҳадлар. Уларга мнсоллар.
Таъриф. Агар Р майдон устида берилган ва даражаси нолга тенг бўлмаган f(х) кўпҳадни шу майдон устидаги ва даражалари f(x) нинг даражасидан кичик иккита g(x), h(x) кўпҳад кўпайтмаси сифатида ифодалаш мумкин бўлса, f(x) ни Р майдон устида келтирнлади­ган кўпҳад ва аксинча агар бундай кўпайтма сифатида ифодалаш мумкин бўлмаса, у Р майдон устида келтирилмайдиган кўпҳад дейилади.
Масалан, рационал сонлар майдони устидаги f(x)=х⁵+2х³+х²+х+1 кўпҳад шу майдон устида келтирнладиган кўпҳад, чунки х⁵+2х³+х²+х+1 =(х³+х+1 )(х²+1 ) бўлади.
Рационал сонлар майдони устидаги f(x)=x²-3 кўпҳад эса бу майдон устида келтирил­майдиган кўпҳаддир. Ҳақиқатдан бу кўпҳадни рационал сонлар майдони устида келтирнла­диган десак,
f(х)=g(x)∙h(x) (6)
тенглик бажарилиб, g(x) ва h(x) нинг даражалари 2 дан кичик ва коэффициентлари рационал сонлар бўлиши лозим. Демак, g(x) ва h(x) биринчи даражали кўпҳадлар бўлгандагина (1) тенглик бажарилиши мумкин. Шу сабабли x²-3=(ax+b)(cx+d) тенглик ўринли бўлиб, а, b, с, d рационал сонлар бўлиши керак. Сўнгги тенгликнинг ўнг томони ва демак чап томони хам қийматида нолга айланади, яъни , лекин бундай тенглик ўринли эмас, чунки иррационал сон рационал cонга тенг бўла олмайди.
Ҳар қандай Р сонлар майдони устида биринчи даражали исталган кўпҳад шу майдон устида келтирилмайдиган кўпҳад бўлади. Ҳақиқатдан, даражаси бирдан кичик кўпҳад факт нолинчи даражали бўлиши мумкин. Лекин биринчи даражали кўпҳадни иккита нолинчн даражали кўпҳаднинг кўпайтмаси қилнб ёзиш ҳсч ҳам мумкин эмас.
Даражаси бирдан юқори бўлиб Р майдон устида келтирилмайдиган f(х) кўпҳад Р ни ўз ичига олган бошқа майдон устида келтирнладиган бўлиши мумкин
Масалан, рационал сонлар майдони устида келтирилмайдиган
x²-3 кўпҳад ҳақиқий сонлар майдони устида келтирнладиган кўпҳад бўлади, чунки х²-3= .
Шунигдек ҳақиқий сонлар майдони устида келтирилмайдиган х²+1 кўпҳад комплекс сонлар майдони устида келтирнладиган кўпҳад бўлади, чунки x²+1=(x-i)(x+i).
Шу сабабли f(x) кўпҳаднинг келтириладиганлигн ёки кслтирилмаслиги бирор майдонни кўзга тутибгина гапириш мумкин.
Келтирилмайдиган кўпҳадлар қуйидаги хоссаларга эга:

1. 
   Агар келтирилмайдиган р(х) кўпҳад, келтирилмайдиган иккинчи g(x) кўпҳадга бўлинса, р(х) ва g(x) бир-биридан ўзгармас кўпайтувчи билангина фарқ қилади.
   

Исботи. Берилганига кўpa р(х)/g(x),яъни p(x)=g(x)h(x) эди.
Бунда h(x) нолинчи даражали кўпҳад бўлиши керак, акс холда р(х) келтириладиган кўпҳадни ифодалайди.Демак, h(x)=a ва p(x)=ag(x)

2. 
   Исталган f(x) кўпҳад келтирилмайдиган ихтиёрий р(х) кўпҳадга
   

ё бўлинади, у билан ўзаро туб бўлади.
Исботи. f(x) ва р(х) нинг ЭКУБ сини d(x) дейлик. У ҳолда p(x)=d(x)h(x) тенглик ўринли бўлади. p(х) келтирилмайдиган кўпҳад бўлгани учун ҳам h (х)=а ёки d (х)=а бўлиши керак. h(x)=a бўлган ҳолда р(х)=аd(x) тенгликка қараб f(х) нинг р(х) га бўлинишини топамиз,чунки f(x) нинг d(x) га бўлинишидан унинг ad(x) га ҳам бўлиниши келиб чиқади. d(х)=а тенгликнинг бажарилиши f(x) ва р(х) ларнинг ўзаро тублигини кўрсатади.

3. 
   Агар f₁(x),f₂(x),...,f_m(x) кўпҳадларнинг ҳеч бири келтирилмайдиган р(х) кўпҳадга бўлинмаса, уларнинг f₁(x)f₂(x)...f_m(x) кўпайтмаси ҳам р(х) га бўлинмайди.
   

Исботи. 2-хоссага асосан, f₁(x),f₂(x),...,f_m(x) кўпҳадларнинг ҳар бири р(х) билан ўзаро туб бўлиб, f₁(x)...f_m(x) кўпайтма ҳам р (х) билан ўзаро туб бўлади. Демак бу кўпайтма р(х) га бўлинмайди.

4. 
   Агар f₁(x)f₂(x)...f_m(x) кўпайтма келтирилмайдиган р(х) га бўлинса, f₁(x),f₂(x),...,f_m(x) кўпҳадларнинг ақалли битгаси р(х) га бўлинади.
   
5. 
   р(х) келтирилмайдиган кўпҳад бўлса, ар(х) ҳам келтирилмайдиган кўпҳад бўлади.
   

Исботи. ар(х) келтириладиган кўпҳад бўлса, ар(х) = g(x)h(x) тенглик ўринли бўлиб, бундан p(x)=a’g(x)h(x) тенглик келиб чикади. Бу эса р(х) нинг юқорида айтилишига мувофиқ келтирилмайдиган бўлишига зиддир.
Теорема. Р майдон устида берилган ва даражаси 1 дан кичик бўлмаган хар бир f(x) кўпҳад ёки келтирилмайдиган кўпҳадлар кўпайтмасига ёйилади, яъни
f(x)=p₁(x)p₂(x)...p_r(x) (7)
бўлиб, бу ёйилма кўпайтувчилари ўзгармас кўпайтувчиларгача аниқлик даражасида ягонадир.
Исботи. Теорема келтирилмайдиган f(x) кўпҳад учун равшандир, чунки бундай кўпҳад ягона йўл билан қуйидагича ифодаланади:
f(x)=p(x)
Энди теоремани кўпҳаднинг даражасига нисбатан математик индукция методини қўллаб исботлаймиз. Биринчи даражали кўпҳад келтирилмайдиган кўпҳад бўлгани учун теорема ўринлидир.
Даражалари п дан кичик кўпҳадлар учун теоремани ўринли деб ҳисоблаб , уни п даражали f(x) кўпҳад учун исботлайлик. Шундай қилиб, n-даражали f(x) кўпҳад берилган бўлсин (n> 1); f(x) келтирилмайдиган кўпҳад бўлган ҳолни юқорида кўриб ўтдик.
Шу сабабли f(х) ни келтириладиган кўпҳад дейлик. Бу вақтда
f(x)=f₁(x)f₂(x) (8)
тенглик бажарилади.
f₁(x) ва f₂(x) нинг даражалари нолдан катта, лекин п дан кичик бўлгани сабабли бу кўпҳадлар учун теорема ўринлидир, яъни улар келтирилмайдиган кўпҳадлар кўпайтмасига қуйидагича ёйилади:
f₁(x)=p₁(x)p₂(x)...p_k(x)
f₂(x)=p_k+1(x)p_k+2(x)...p_r(x)
Бу ифодаларни (13) га қўйиб
f(x)=p₁(x)p₂(x)...p_k(x)p_k+1(x)...p_r (x) (9)

ни ҳосил киламиз.
Энди (9) ёйилманинг ягоналигини исботлашгина қолди. Фараз қилайлик, f(х) кўпҳад (9) дан бошқа яна қуйидаги келтирилмайдигаи кўпҳадлар кўпайтмасига ёйилган бўлсин:
f(x)=q₁(x)q₂(x)...q_s(x) (10)
(9) ва(10) нинг тенглаштириб, ушбу тенгликни ҳосил қиламиз:
p_l(x)p₂(x)… p_r(x)=q_l(x)q₂(x)...q_s(x) (11)
(11) тенгликнинг чап томони р₁(х) га бўлингани учун унинг ўнг томони ҳам р₁(х) га бўлинади. Бундан 4° га кўра q_i(x) (i=1,...,s) кўпҳаднинг ақалли биттаси, масалан q₁(x) кўпҳад p₁(x) га бўлинади деган хулосага келамиз. 6-асосан ушбу тенгликка эга бўламиз:
q₁(x)=cp₁(x) (12)
Бу қийматии (11) га қўйсак, p_l(x)p₂(x)… p_r(x)= cp₁(x)q₂(x)...q_s(x) ёки р₁(х) га қисқартнрсак,
p₂(x)… p_r(x)= cq₂(x)...q_s(x) (13)
тенглик ҳосил бўлади.
(13)тенгликни чап ва ўнт томони кўпҳаднинг
келтирилмайдиган кўпҳадлар кўпайтмасига ёйилишидан иборат. Бунда g(x) нинг даражаси нолдан катта, п дан кичик эканлигини эътиборга олсак, фаразимиз бўйича бу кўпҳад учун теорема тўғри, яъни (13) ёйилма ўзгармас кўпайтувчилар аниқлигида ягонадир деган хулосага келамиз.
Бошқача айтганда, r-1=s-1 бўлиб, бундан r=s, яъни
g₂ (х)=с₂ р₂ (х), g₃ (х)=с_з р_з (х), … , g_r(x)=c_rp_r(x) тенгликни ҳосил қила-миз.
Бу тенгликни (7) билан бирга олиб ушбу r=s, g₁ (х)=с₁ р₁ (х),
g₂ (х)=с₂ р₂ (х), g₃ (х)=с_з р_з (х), … , g_r(x)=c_rp_r(x) натижага келамиз.
Шуни таъкидлаш керакки, комплекс сонлар майдони С да фақат биринчи даражали кўпҳадлар келтирилмайди. Ҳақиқий сонлар майдонида эса 1- ва 2- даражали кўпҳадлар келтирилмайдиган бўлиши мумкин. Рационал сонлар майдонида эса вазият бутунлай бошқача. Бу ерда ушбу теорема ўринли:
Теорема (Эйзенштейн белгиси). Агар бутун коэффициентли
f(x)= a_oxⁿ +a₁x ^n-1 +...+а _n-1 x+a_n
кўпҳадда бош ҳадининг коэффициенти а_о дан бошқа барча коэффициентлар бирор р туб сонига бўлиниб унинг озод ҳади а_п эса р га бўлиниб, р² га бўлинмаса, у ҳолда f(х) кўпҳад рационал сонлар майдонида келтирилмайдиган кўпҳад бўлади.
Масалан, f(x)=х⁵+12х²+18х+15 кўпҳаднинг бош ҳадининг коэффициенти 1 бўлиб, ундан бошқа ҳадларнинг коэффициентлари 0, 0, 12, 18, 15 туб сон 3 га бўлинади, озод ҳад 15 эса 3 га бўлиниб З² га бўлинмайди. Демак теоремага кўра берилган кўпҳад рационал сонлар майдонида келтирилмайди.