2-mavzu. Bir jinsli va bir jinsliga olib kelinadigan diffеrеnsial tеnglamalar. Amaliy masalalarni differensial tenglamalar yordamida yechish agar f

Download 147,79 Kb.

bet	2/3
Sana	31.12.2021
Hajmi	147,79 Kb.
	#221112

1 2 3

Bog'liq
2-амалий ДТ

1-misоl. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.

► almashtirish оlib, ekanligini hisоbga оlsak, bеrilgan tеnglamadan

bo‘lib, yoki , , bo‘ladi.

1) Оxirgi tеnglamada o‘zgaruvchilarini ajratsak,

bo‘ladi. Оxirgi tеnglikni intеgrallasak,

_{Demak, ◄}
_Quyidagi

_{ko‘rinishdagi tenglamani yechish usullari bilan tanishamiz. Bu yerda bo‘lsa, bir jinsli tenglama bo‘ladi. Faraz qilaylik, ulardan kamida bittasi noldan farqli.}

_Agar

_bo‘lsa,

_{bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglama}_{deyiladi. O‘zgaruvchilarni almashtiramiz:}

_{U holda}

_{Bu tenglama}

_{bo‘lganda bir jinsliga aylanadi. Tenglamalar sistemasini}_α_va_β_{larga nisbatan yechiladi va berilgan tenglamani yuqoridagi almashtirish yordamida bir jinsliga keltirib yechiladi.}

_Agar

_{bo‘lsa, berilgan differensial tenglama}

_{almashtirish yordamida o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga keltirib yechiladi.}

_2-misol_{. Ushbu tenglamaning umumiy integralini toping.}

_{► Determinant . Quyidagi almashtirishni bajaramiz:}

_.

_{U holda}

_Endi

_{sistemani yechib, ekanini aniqlaymiz.}

_{Demak, almashtirish yordamida}_{bir jinsli differensial tenglamaga keltiriladi.}

_{Endi almashtirish bajaramiz:}

_Nihoyat,_{almashtirishni bajarib,}_x_va_y_{o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:}

_◄

_{Quyida bir jinsli tenglama bilan yechiladigan bir geometrik masalani ko‘rib chiqamiz.}

Masala. nuqtadan o‘tuvchi shunday egri chiziqni topingki, uning ixtiyoriy nuqtasidan o‘tkazilgan urinmasi Oy o‘qi va urinish nuqtasining radius vektori bilan teng yonli uchburchakni tashkil etsin(bu yerda uchburchak asosi urinish nuqtasidan Oy o‘qigacha bo‘lgan kesma).

► - izlanayotgan egri chiziq bo‘lsin. - ixtiyoriy M nuqtasidan o‘tkazilgan urinmasining Oy o‘qigacha bo‘lgan kesmasi(1-shakl).

1-shakl

Masala shartiga ko‘ra,. Shuningdek, , esa urinma tenglamasidan deb aniqlanadi, ya’ni . Shunday qilib, quyidagi bir jinsli differensial tenglamaga kelamiz.

Bu tenglamaning umumiy yechimini almashtirish yordamida aniqlaymiz.

,

.

Umumiy yechimga nuqta koordinatalarini qo‘yib, ni hosil qilamiz va ekanini aniqlaymiz.

Demak, izlanayotgan egri chiziq yoki parabola ekan.◄

Download 147,79 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3