2-Ma’ruza. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi va xossalari

a= a_x + a_y= (±|a_x|)i +(±|a_y|)j=xi +yj . (1)
12-TA’RIF: (1) tenglik a vektorning ortlar bo‘yicha yoyilmasi, x va y sonlari esa uning koordinatalari deb ataladi .
Koordinatalari x va y , ya’ni (1) yoyilmaga ega bo‘lgan a vektor qisqacha a=(x,u) kabi ifodalanadi. Masalan, yoyilmasi a=2i–3j bo‘lgan vektorning koordinatalari x=2, u= – 3 bo‘ladi va a=(2,–3) deb yoziladi. Nol vektor uchun yoyilma 0 = 0i+0j=(0,0), ya’ni uning koordinatalari x=0, u=0 bo‘ladi.
Shunday qilib tekislikdagi ixtiyoriy a vektor o‘zining x va u koordinatalari, ya’ni (x,u) sonlar juftligi bilan (1) tenglik orqali to‘liq aniqlanadi.
Xuddi shunday tarzda fazodagi nuqta va vektorlar uchun koordinatalar tushunchasi kiritiladi. Buning uchun fazoda o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan va O nuqtada kesishuvchi OX, OY va OZ (applikatalar) o‘qlarini kiritamiz. Bunda fazodagi har bir M nuqta o‘zining OX, OY va OZ o‘qlaridagi proyeksiyalari M_x , M_y va M_z orqali tekislikda qaralgani singari x, y va z koordinatalari bilan bir qiymatli aniqlanadi va bu M(x, y, z) kabi ifodalanadi.
Vektorlarning koordinatalarini aniqlash uchun oldin kiritilgan i va j ortlarga qo‘shimcha ravishda OZ koordinata o‘qida joylashgan k ort vektorni kiritamiz. Unda, fazodagi vektorlarni qo‘shishning parallelepiped qoidasidan foydalanib,
a= a_x + a_y+ a_z = (±|a_x|)i +(±|a_y|)j+(±|a_z|)k =xi +yj+zk (2)
yoyilmani hosil etamiz. Bu yerda x, y, z sonlar uchligi fazodagi a vektorning koordinatalari bo‘lib, a=( x, y, z) deb yoziladi.
Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning tengligi va ular ustidagi qo‘shish, ayirish, songa ko‘paytirish amallarining natijalari oson aniqlanadi. Bularni fazodagi vektorlar uchun ifodalaymiz. Tekisikdagi vektorlar uchun tegishli natijalar z=0 holda kelib chiqadi.
1-TEOREMA: a=(x₁,u₁, z₁) va b=(x₂,u₂, z₂) vektorlar teng bo‘lishi uchun ularning mos koordinatalari teng, ya’ni x₁=x₂ , u₁=u₂ , z₁=z₂ bo‘lishi zarur va yetarli.
Teoremaning isboti (2) yoyilmadan kelib chiqadi va o‘quvchiga havola etiladi.
2-TEOREMA: a=(x₁,u₁, z₁) va b=(x₂,u₂, z₂) vektorlarning yig‘indisi yoki ayirmasining koordinatalari qo‘shiluvchilarning mos koordinatalari yig‘indisi yoki ayirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni