|
2-мисол.
xdx
x
sin
2
Ечиш:
=
+
−
=
−
=
=
=
=
xdx
x
x
x
x
dx
d
xdx
du
x
u
xdx
x
cos
2
cos
cos
,
sin
2
,
sin
2
2
2
=
−
+
+
−
=
=
=
=
=
=
xdx
x
x
x
x
x
x
dx
d
dz
du
x
u
cos
2
sin
2
2
cos
sin
,
cos
,
2
2
(
)
.
cos
sin
2
cos
cos
2
sin
2
cos
2
2
C
x
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
Ушбу
xdx
x
n
sin
,
бунда n ихтиёрий мусбат бутун сон интегрални ҳисоблаш
учун n марта бўлаклаб интеграллаш керак.
3-мисол
.
bxdx
е
ax
cos
=
=
=
−
=
=
=
ax
ax
ax
e
a
dx
e
d
bxdx
b
du
bx
u
bxdx
е
1
,
sin
,
cos
cos
=
+
=
bxdx
e
a
b
bx
e
a
ax
ax
sin
cos
1
=
=
=
−
=
=
=
ax
ax
e
a
dx
e
du
bxdx
b
du
bx
u
1
,
cos
,
sin
=
−
+
=
bxdx
e
а
b
bx
e
а
a
b
bx
e
a
ax
ax
ax
cos
sin
1
cos
1
=
−
+
=
bxdx
e
a
b
bx
e
a
b
bx
e
a
ax
ax
ax
cos
sin
cos
1
2
2
(
)
=
−
+
=
bxdx
e
a
b
bx
b
bx
a
e
a
ax
ax
cos
sin
cos
1
2
2
2
Оҳирги тенгликнинг ўнг томонидаги интегрални чап томонга олиб ўтиб,
баъзи амалларни бажаргандан сўнг қуйидагини ҳосил қиламиз.
(
)
;
sin
cos
cos
2
2
C
b
a
bx
b
bx
a
е
bxdx
е
ax
ax
+
+
+
=
Худди шунингдек
(
)
C
b
a
bx
b
bx
a
е
bxdx
е
ax
ax
+
+
−
=
2
2
cos
sin
sin
келиб чиқади.
4-мисол.
Бўлаклаб интеграллаш формуласига асосан
(
)
,....
3
,
2
,
1
,
2
2
=
+
=
n
a
x
dx
J
n
n
Интегрални хисоблаш учун рекуррент формулани келтириб чиқарамиз.
(рекуррент - лотинча recurrens cўзидаен олинган бўлиб, қайтармоқ маъносини
англатади).
(
)
(
)
(
)
=
=
=
+
=
+
=
=
+
=
+
x
dx
d
a
x
nxdx
du
a
x
u
a
x
dx
J
n
n
n
n
,
2
,
1
1
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
=
+
+
+
=
+
1
2
2
2
2
2
2
n
n
a
x
dx
x
n
a
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
=
+
n
n
n
n
a
x
dx
n
a
x
x
dx
a
x
a
a
x
a
x
x
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
,
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
+
+
−
+
+
=
+
−
n
n
n
n
nJ
a
nJ
a
x
x
a
x
dx
n
a
бундан
(
)
n
n
n
J
n
a
n
a
x
n
a
x
J
2
2
2
2
1
2
1
2
2
−
+
+
=
+
(4)
реккурент формула ҳосил бўлади. (4) формула
1
+
n
J
интегрални ҳисоблаш
n
J
интегрални ҳисоблашга келтирилишини ифодалайди. (4) формула ёрдамида
a
x
arctq
a
a
x
dx
J
1
2
2
1
=
+
=
тенгликдан фойдаланиб,
n
J
J
J
,...,
,
3
2
интеграллар ҳисобланади.
Масалан, (4)га асосан
(
)
(
)
,
2
1
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
1
C
a
x
arctq
a
a
x
a
x
J
a
a
x
a
x
J
+
+
+
=
+
+
=
яъни
(
)
(
)
C
a
x
arctq
a
a
x
a
x
a
x
dx
+
+
+
=
+
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
J
нинг қийматини (4) да
n=2
деб қўйсак, 3
J
ни келиб чиқади ва ҳоқазо.
Амалиётда қўп учрайдиган бўлаклаб интеграллаш ёрдамида
хисобланадиган интегралларни учта турга ажратиш мумкин.
1.
Ушбу
( )
( )
( )
dx
ax
x
P
dx
ax
x
P
dx
e
x
P
ax
cos
,
sin
,
бунда
( )
x
P
- кўпхад,
a
- ўзгармас сон, кўринишдаги интегралларни
ҳисоблаш учун
( )
x
P
U
=
деб олиш керак. Бундай интеграллар элементар
функциялар орқали ифодаланади.
Агар
( )
x
P
каср рационал функция бўлса, у ҳолда интеграллар элементар
функциялар орқали ифодаланмаслиги мумкин. Масалан,
,
cos
,
sin
,
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
е
x
интеграллар элементар функциялар орқали ифодаланмайди.
2.
Қуйидаги
( )
( )
( )
( )
,
,
arccos
,
arcsin
,
ln
arctqxdx
x
P
dx
x
P
x
xdx
x
P
xdx
x
P
бунда
( )
x
P
- кўпҳад, кўринишдаги интеграллар U учун кўпҳад олдидаги
трансцендент функция танланганда чекли равишда интегралланади.
3.
Ушбу
( )
dx
x
bxdx
е
bxdx
е
ax
ax
ln
sin
,
cos
,
sin
интеграллар икки марта бўлаклаб интеграллаш билан ҳисобланади. Биз юқорида
биринчи иккита интегрални ҳисоблаш усулини кўрганмиз.
4 – тест
1. Ҳисобланг:
(
)
1
ln
−
n
xdx
x
n
,
1
1
ln
1
)
1
C
n
x
n
x
A
n
+
+
−
+
+
,
1
1
ln
)
1
C
n
x
x
B
n
+
+
−
+
,
1
1
ln
2
ln
)
1
C
n
x
x
C
n
+
+
−
+
,
ln
1
)
1
C
x
n
x
D
n
+
+
+
.
1
ln
)
C
n
x
n
x
E
n
+
−
2.
dx
e
x
x
−
2
2
(
)
,
2
)
2
2
C
x
x
e
A
x
+
+
−
(
)
,
1
2
)
2
2
C
x
x
e
B
x
+
+
+
−
,
2
1
2
)
2
2
C
x
x
e
C
x
+
+
+
−
−
,
2
1
)
2
2
C
x
x
e
D
x
+
+
+
−
,
2
1
)
2
C
x
x
e
E
x
+
+
+
−
3.
dx
e
x
(
)
,
1
)
C
e
x
A
x
+
−
(
)
,
1
2
)
C
e
x
B
x
+
−
(
)
,
1
2
)
C
e
x
C
x
+
−
−
(
)
,
1
2
)
C
e
x
D
x
+
+
.
2
)
C
e
x
E
x
+
4.
(
)
...
,
1
,
0
,
sin
2
=
n
n
x
x
xdx
,
sin
ln
)
C
x
xctqx
A
+
+
,
sin
ln
)
C
x
xtqx
В
+
+
−
,
cos
ln
)
C
x
xtqx
C
+
+
,
sin
ln
)
C
x
xtqx
D
+
+
,
sin
ln
)
C
x
xctqx
E
+
+
−
5.
( )
dx
x
ln
sin
( )
( )
,
ln
cos
ln
sin
)
C
x
x
A
+
−
( )
,
ln
sin
2
)
C
x
x
B
+
( )
,
ln
cos
2
)
C
x
x
C
+
( )
( )
,
ln
cos
ln
sin
2
)
C
x
x
x
D
+
−
( )
( )
.
ln
cos
ln
sin
)
C
x
x
E
+
+
I-
бобга оид мисол ва масалалар
1.
(
)
+
−
dx
x
x
x
6
sin
3
4
3
2.
+
−
dx
x
x
3
9
3.
xdx
x
sin
cos
3
4.
−
dx
x
x
x
2
1
1
5.
dx
x
x
x
+
+
−
3
4
4
2
6.
(
)
+
dx
x
x
3
2
7.
+
+
dx
e
e
x
x
1
1
8. Агар
( )
( )
C
x
F
dx
x
f
+
=
бўлса, у ҳолда
(
)
(
)
(
)
0
1
+
+
=
+
a
C
b
ax
F
a
F
dx
b
ax
f
тенглик ўринли бўлишини исботланг.
9.
( )
(
)
0
1
=
x
x
x
x
f
функция учун
( )
2
,
1
М
нуқтадан ўтувчи бошланғич
функцияни топинг.
10.
( )
2
4
1
1
x
x
f
+
=
функция учун
1
,
2
1
М
нуқтадан ўтувчи бошланғич
функцияни топинг.
11.
xdx
th
2
12.
(
)
(
)
−
+
+
dx
x
ch
x
sh
1
2
1
2
13.
−
dx
x
3
3
1
14.
−
2
3
2
x
dx
15.
+
x
dx
cos
1
16.
+
4
4
x
xdx
17.
x
x
2
ln
18.
( )
x
x
x
dx
ln
ln
ln
19.
+
−
dx
x
x
x
6
3
cos
6
2
sin
20.
xdx
ch
chx
3
21.
dx
x
x
−
2
5
1
22.
−
x
e
dx
1
23.
−
dx
x
2
1
24.
+
dx
x
x
2
3
cos
1
cos
sin
25.
xdx
x
2
ln
26.
( )
dx
tqx
x
ln
sin
27.
dx
x
a
x
2
2
2
+
28.
dx
x
x
sin
29.
( )
dx
x
ln
cos
30.
dx
e
arctqe
x
x
Do'stlaringiz bilan baham: |
