2 mа’ruzа Ikki va uch nоma’lumli chiziqli tеnglamalar sistеmasini. Kramеr fоrmulalari yordamida еchish. Gauss usuli. Matritsa va ular ustida amallar

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishni
Kramer usuli.
Berilgan (1) sistemada , ya’ni noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng bo’lsin. Bu holda

determinant (noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan) sistemaning determinantni deyiladi. bo’lsin, ya’ni bo’lsin.
Teorema (Kramer). Agar sistemaning determinanti noldan farqli bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi va bu yechim
(2)
formulalar yordamida topiladi. Bu yerda determinant determinantda ustundagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
(2) formulalar Kramer formulalari deb ataladi. Bu formulalarni qo’llanishga misol ko’ramiz.
1-misol
tenglmalar sistemasini Kramer usulida yeching.
Yechish. Quyidagi determinantlarni hisoblaymiz.
,
,
,

Kramer formulalaridan , , ni topamiz.
Agar sistemada va bo’lib, bo’lgan holda ham Kramer formulalaridan foydalanib uning yechimni topsa bo’ladi (2-izohda keltirilganidek). Buni misolda ko’ramiz.
2-misol.

tenglamalar sistemasini Kramer usulida yeching. Sistema matritsasi A va kengaytirilgan matritsasi B

larning rangini topib ekanligini ko’ramiz. Uning minori

noldan farqli. Shuning uchun to’rtinchi tenglamani tashlab yuboramiz, qolgan tenglamalarda qatnashgan hadlarni o’ng tomongan o’tkazamiz

Bu sistemani Kramer usuli bilan yechib

yechimni topamiz. ga ixtiyoriy qiymatlar berib ning mos qiymatlarini topamiz. Sistema cheksiz ko’p yechimga ega.
Izoh. Keltirilgan yechim yo’li yagona emas. Masalan, uchun

minorni ham qabul qilish mumkin edi. Bu holda birinchi tenglamani tashlab yuborib, qatnashgan hadlarni o’ng tomonga o’tkazib, ga ixtiyoriy qiymatlar berib, ning mos qiymatlarini topar edik.