2-ma’ruza determinantlar nazariyasi: Ikkinchi va

2-MA’RUZA
Determinantlar nazariyasi: Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar va ularni hisoblash. O’rin almashtirishlar. n-tartibli determinantning ta’rifi.

REJA

1. 
   2 va 3- tartibli determinantlar
   
2. 
   Yuqori tartibli determinantlar va ularni hisoblash usullari
   
3. 
   Determinantlarning tadbiqlari
   

1. 2va3- tartibli determinantlar

A formula bilan 1 1o’lchovli matrittsani belgilaymiz.


I birlik matrittsa bo’lsin. Agar a 0 bo’lsa, A matrittsaga teskari matrittsa mavjud

^{bo’ladi, yahni} A
bo’ladi.

Agar a
0bo’lsa, AB
tenglikni qanoatlantiruvchi B matrittsani topish

mumkin emas. Demak, bu holda A matrittsaga teskari matrittsa mavjud emas.

1.1.-tarif.1

o’lchovli matrittsa determinanti deb, det A
soniga aytiladi.

Endi A
bo’lgan 2
o’lchovli matrittsani qaraylik. Bizga malumki, A

matrittsaga teskari matrittsa A
ko’rinishda bo’ladi.

SHundan kelib chiqib , 2
o’lchovli matrittsaning determinanti tahrifini keltiramiz.

1.2.-tarif. A

matrittsaning determinanti deb, det A
songa

aytiladi.

2. Yuqori tartibli determinantlar va ularni hisoblash usullari

^{Yuqorida 1-tartibli va 2-tartibli determinantlar tahrifi keltirildi.} 3 3 ^{o’lchovli matrittsa}

determinantini ^2
2 o’lchovli matrittsa determinanti orqali, ^{4 4}
o’lchovli matrittsa

^{determinantini} 3 3 ^{o’lchovli matrittsa determianti orqali aniqlaymizva hakozo.}

endi n
n o’chovli matrittsa determinantini ⁽ⁿ
1) (n
1) o’lchovli matrittsa determinanti

orqali aniqlaymiz. ^A va A_ij matrittsalarni qaraymiz. Bu yerda ^va j ^{ustunini o’chirishdan hosil bo’lgan matrittsa.
a}11 ^a1n
. . . . . . . . . . . . . . . .
A_ij matrittsa ^A matrittsaning ⁱ satr

_A . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
^an1 ^ann

1.3.-tahrif. n

^{n o’lchovli A matrittsa uchun} a_{i j}
elementining algebrayik to’ldiruvchisi (cofactor

) deb,
^ci j
( 1)^{i 1} det( A
) ^{soniga aytiladi.}

i j
1.4.-tahrif. n n
o’lchovli A matrittsa uchun cofactor deb,
n
^ai j^ci j
j 1
^ai1^ci1
. . a_inc_in

(*)soniga aytiladi. Bu yerda A

^a1 j
^a2 j
.
.
.
^an j
matrittsaning j ustuni quyidagicha:

1.5.-tahrif. n

n o’lchovli ^A matrittsa uchun cofactor
(**)

songa aytiladi.
1.6.-Natija. ^A matrittsa uchun(*) va (**) ifodalar o’zaro teng, hamda ifodalarning qiymati satr va ustunlarini tanlashga bog’liq emas.
1.7.-tahrif. n n o’lchovli ^A matrittsaning determinanti deb, (*) va (**) sonlarga aytiladi.

^{2 2 o’lchovli} A
^a11 ^a21
^a12 ^a22

matrittsani qaraylik. Bizga mahlumki:

^c11
a₂₂ ,
^c12
a₂₁,
^c21
a₁₂ ,
^c22
a₁₁ .

U holda yuqorida keltirilgan tahrifga ko’ra ²
quyidagicha topiladi:
² o’lchovli ^A matrittsaning determinanti

1-satr bo’yicha: 2-satr bo’yicha:
^a11^c11 ^a21^c21
^a12^c12 ^a22^c22
^a11^c22
^a21^a12
^a12^a21 ^.
a22^a11 ^.

1. 
   ustun bo’yicha: a₁₁c₁₁
   

^a21^c21
^a11^a22
^a21^a12 ^.

2. 
   ustun boyicha:
   

^a12^c12
^a22^c22
^a12^c21
^a22^a11 ^.

4 ta son o’zaro teng bo’lib, avval ko’rilgan 2 2 o’lchovli matrittsa determinanti
det( A) ab bc ni beradi.

^1.8.-misol. A

2 3 5
1 4 2
2 1 5

matrittsani qaraylik. A matrittsaning 1-satr elementlari uchun

c₁₁,
c₁₂ ,
^c23
larni hisoblaymiz:

^c11
^c12 ^c13
( 1)^{1 1} det( A) ^{4 2}

( 1)^2 (20	2)	18
( 1)^3 (5	4)	1
( 1)^4 (1	8)	7

1 5


( 1)^{1 2} det( A) ^{1 2}
2 5


( 1)^{1 3} det( A) ^{1 4}
2 1

U holda
det( A)
^a11^c11
^a12^c12
^a13^c13
2 18
3 ( 1)
5 ( 7)
2 bo’ladi.

Endi A matrittsaning2-ustun elementlari uchun
c₁₂ ,
c₂₂ ,
c₃₂ larni hisoblaymiz:

^c12


^c22


^c32
( 1)^{1 2} det( A) ^{1 2}
2 5


( 1)^{2 2} det( A) ^{2 5}
2 5


( 1)^{3 2} det( A) ^{2 5}
1 2

( 1)³ (5

( 1)⁴ (10
( 1)⁵ (4

4)
10) 0

5) 1

u holda
d e tA( )
^a12^c12
^a22^c22
^a32^c32
3 0 1
2 bo’ladi. Matrittsa determinantini

bu usul bilan hisoblash, determinantning tartibini pasaytirish orqali hisoblashni ifodalaydi.
Endi 2 ta oddiy xossani keltiramiz.
1.9.-xossa. Agar kvadratik matrittsaning barcha satr elementlari (barcha ustun elementlari) nollardan iborat bo’lsa, bu matrittsa determinanti nolga teng bo’ladi.

Isboti. n
n o’lchovi matrittsada
^ai j
0 i 1, n, j
bo’lgani uchun
^ai j
^ci j
0 ^bo’ladi.

Matrittsa determinantini yuqorida ko’rilgan usul bilan xisoblaydigan bo’lsak, yig’indida

qatnashgan barcha qo’shiluvchilar nolga teng bo’ladi, demak
det( A)
⁰ bo’ladi.

1.10.-xossa. Agar ^А yuqori uchburchakli yoki quyi uchburchakli matrittsa bo’lsa, bu matrittsa determinanti dioganal elementlar ko’paytmasiga teng

det( А)

^a11
^a22

. . .

^ann

Isbot: Faraz qilamiz А matrittsa yuqori uchburchakli matrittsa bo’lsin. Yahni,
a₁₁ a₁₂ . . .a_1n
А 0 a₂₂ . . .a_2n
. . . . . . . . .

0 0 . . .
^ann

А matrittsa detervinantini 1-ustun elementlari, bo’yicha yoyamiz.

det( А)

^a11

det

a₂₂ . . .a_2n
0 a_3n

. . . . . . . . .

0 a_nn
^a11
^a22

det

a₃₃ . . . a_3n
0 a_4n

. . . . . . . . .

0 a_nn
^a11
^a22

. . .

a_nn .

Natijalar:

1. 
   Agar B matsitsa А matrittsaning ixtiyoriy ketma-ket 2 ta satri (ustuni) elementlarini
   

almashtirish orqali xosil bo’lgan bo’lsa, u xolda bo’ladi
det( B)
det( A)
tenglik o’rinli

2. 
   Agar ^B matrittsaning biror satr (ustun) elementlari, ^А matrittsaning parallel satr(ustun)
   

elementlari yig’indisi orqali xosil bo’lsa, ^{det( А)}
det( В)
tenglik o’rinli bo’ladi.

3. 
   Agar ^B matrittsa ^А matrittsaning biror satr (ustun) elementlarini biror noldan farqli
   

songa ko’paytirishdan xosil bo’lgan bo’lsa, ^{det( B) С det( A)} bo’ladi.

1.11.-tahrif. ^{A n}

ⁿ o’lchovli matrittsa bo’lsin.
a₁₁ a₁₂ . . . a_1n

_A a₂₁ a₂₂ . . . a_2n
. . . . . . . . . . .
^an1 ^an 2 ^ann
^A matrittsa uchun transponerlangan matrittsa deb quyidagi matrittsaga aytiladi.
a₁₁ a₂₁ . . . a_n1
AT ^{a12 a22 . . . an2}
. . . . . . . . . . .

1.12.-xossa. ^{det( А)}


det( A^Т )
^a1n
^a2n ^ann

^{1.13.-xossa. A va В matrittsalar} n n ^{o’lchovli matrittsalar bo’lsin, u xolda}

det( А B)
det( A)
^{det( B)} tenglik o’rinli bo’ladi.

1.14.-xossa. A ⁿ

ⁿ o’lchovli xosmas matrittsa bo’lsin, u xolda
det(А ¹)
det(A^Т )

tenglik o’rinli bo’ladi. (chunki det( A)
det( A ¹)
det(I_n )
1bo’ladi)

1.15.-xossa. xosmas bo’ladi.
^{n n} o’lchovli A matrittsa uchun
de tА()

0. 
   bo’lsa, A matrittsa
   

Yuqorida keltirilgan xossalardan quyidagi natijani keltiramiz:
1.16.-natija. Quyidagi muloxazalar teng kuchli.

1. 
   A xosmas matrittsa
   
2. 
   Ax 0 tenglamalar sistemasi trivial yechimga ega
   
3. 
   n o’lchovli ^В matrittsa uchun Ax B tenglamalar sistemasi yechimga ega.
   

4. 
   ^{det( А) 0}
   

Determinantlarning tadbiqlari

endi determinantlar yordamida geometriyadagi bir qancha muammolarni yechishga urinib ko’ramiz.

1.17.-misol. ^XY tekisligida berilgan tenglamasi tuzilsin.
(x₁ , y₁ )
va (x₂ , y₂ ) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi: ^{ax by 0} ekanligi mahlum.

(x₁ , y₁ ) va
(x₂ , y₂ )
nuqtalar to’g’ri chiziqda yotadi, demak
ax₁
by₁
c 0 va

ax₂
by₂
c 0 tengliklar o’rinli bo’lishi kerak.
ax by c 0

Ushbu tenglamalar sistemasini yozamiz:
x
ax₁ ax₂
y
by₁ c 0
by₂ c 0

0. 
   a 0
   

Bu sistemani matrittsa ko’rinishida yozsak,
x₁ y₁ 1 b
0 ^{ga ega bo’lamiz.}

x₂ y₂ 1 c 0
x y 1

a, b, c
lar tenglamaning noldan farqli koeffitsientlari. Demak,
det x₁
y₁ 1 0

tenglama qidirilayotgan to’g’ri chiziq tenglamasini beradi.
x₂ y₂ 1

1.18.-misol. ^XY tekisligida uchta aylana tenglamasi tuzilsin.
^(x₁^{, y}₁ ⁾ ,
^(x₂ ^{, y}₂ ⁾ ,
(x₃ , y₃ )
nuqtalardan o’tuvchi

Aylana tenglamasi
a(x²
y² ) bx cy d
⁰ bo’lgani uchun va berilgan uchta nuqta bu

aylanada yotgani uchun, ko’rilayotgan masala quyidagi tenglamalar sistemasini yechishga olib keladi:

a(x²

1
a(x²

2
a(x²

3
a(x²
y² )

1
y² )

2
y² )

3
y² )
bx bx₁ bx₂ bx₃
cy d 0
сy₁ d 0
сy₂ d 0
сy₃ d 0

bu sistemani matrittsa ko’rinishida yozsak:

bo’ladi.
a,b,c,d lar noldan farqli koeffitsientlar bo’lsin, u holda

det

tenglama qidirilayotgan aylana tenglamasi bo’ladi.

O’z – o’zini tekshirish savollari.

1. 
   Algebra va algoritm iborasi nima bilan bog’liq?
   
2. 
   2-tartibli determinant qanday belgilanadi va u nimaga teng?
   
3. 
   3-tartibli determinant qanday belgilanadi va u qanday hisoblanadi?
   
4. 
   Determinantlarning xossalari nimalardan iborat.
   
5. 
   4-tartibli determinantlarning kattaligi qanday hisoblanadi?
   
6. 
   5,6,…, n -tartibli determinantlar qanday belgilanadi va hisoblanadi?