2-Maruza : Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar. Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini strukturasi haqida teorima va Voronskiy determinant. Reja

2-Maruza : Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar . Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini strukturasi haqida teorima va Voronskiy determinant.
Reja:

1. 
   n-tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligining yetarlilik shart
   
2. 
   Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar.
   
3. 
   Voronskiy determinanti.
   

2.1. n-tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligining yetarlilik shartlari
n-tartibli differensial tenglamlar umumiy holda
(1)
kо‘rinishga yoki ga nisbatan yechilganda
(2)
normal kо‘rinishga ega bо‘lishi ta’kidlangan edi.
Umuman olganda n-tartibli differensial tenglamani cheksiz kо‘p funksiyalar qanoatlantiradi. Ulardan bittasini ajratib olish uchun noma’lum funksiya va uning (n-1)-tartibgacha hosilalarini argument ning biror dagi qiymatlari berilishi lozim. Ya’ni noma’lum funksiya va uning hosilalari
(3)
shartlarni qanoatlantirishlari lozim. (3) n-tartibli differensial tenglama uchun boshlang‘ich shartlar, nuqta boshlang‘ich nuqta, n-tartibli differensial tenglamaning boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi deb ataladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglama uchun boshlang‘ich shartlar
kо‘rinishga ega, bu yerda -berilgan sonlar. Bu holda Koshi masalasini yechish-bu shunday egri chiziqni topish demakki, u nuqtadan о‘tadi va bu nuqtada egri chiziqqa о‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti berilgan ga teng.
Koshi masalasi qanday shartlarda yechimga ega bо‘ladi degan savolga quyidagi teorema javob beradi.
Pikar teoremasi (yechimning mavjudligi va yagonaligi haqida).
Agar nuqtani о‘z ichiga olgan biror D sohada funksiya uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bо‘lsa, u holda tenglamaning shartlarni qanoatlantiradigan yechimi mavjud bо‘lib, bu yechim yagona bо‘ladi.
(2) tenglamaning о‘ng tomoni barcha argumentlarining kо‘phadi bо‘lsin. Bu holda istalgan -boshlang‘ich qiymatlar uchun Pikar teoremasining shartlari bajariladi. Demak bu holda (2) tenglama berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega bо‘ladi.
Endi
(4)
n-tartibli chiziqli tenglamani qaraymiz.
Barcha koeffitsiyentlar hamda tenglamaning о‘ng tomoni intervalda berilgan va uzluksiz deb faraz qilamiz. U holda intervaldan olingan istalgan va istalgan ma’lum sonlar uchun boshlang‘ich nuqtaning atrofida Pikar teoremasining shartlari bajariladi.
Shuning uchun (4) chiziqli tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi teoremasi quyidagicha ifodalanadi.
1-teorema Agar va funksiyalar intervalda uzluksiz bо‘lsa, u holda (4) tenglama (3) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega, bunda sifatida istalgan sonlarni, sifatida intervaldan istalgan qiymatni olish mumkin.