2. doiraviy va xalqali plastinkalarning elastik va plastik egilishida ularning limitik holati

1.2. Elastik – plastik deformatsiyalanuvchan plastinkalar hisobi


Boshlang’ich gipotezalar. Plastinkalarning elastiklik chegarasidan tashqarida egilish nazariyasidan geometrik farazlardan kelib chiqadi:
a) plastinkaning o’rta sirti cho’zilmaydi, uning nuqtalari faqat vertikal ko’chishlar w(x,y) egilishlarni oladi (1.5-rasm);
b) w – egilishlar plastinkaning h – qalinligidan kichik;
c) deformatsiyadan avval plastinkaning o’rta sirtiga perpenkulyar bo’lgan chiziqli elementlar deformatsiyadan keyin ham o’rta sirtga perpendikulyarligicha qoladi.
Bu farazlarga asoslangan hisoblar o’rtacha qalinlikdagi plastinkalar uchun qoniqarli natijalarni beradi.
Ko’chish va deformatsiyalar. Yuqoridagi gipotezalarga tayanib ko’chishning komponentalari quyidagicha:
; , (1.6)
bu yerda z – plastinka o’rta sirtidan boshlab unga normal yo’nalgan o’q bo’yiga koordinata.

1.5- rasm. Plastinka egilishi.

Deformatsiya komponentalari:

ε_x = z ∙ æ_x ; ε_y = z∙æ_y ; γ_xy = 2∙z∙æ_xy , (1.7)
bu yerda o’rta sirtning egriligi quyidagicha kiritilgan:
; ; . (1.8)


Momentlar va ko’ndalang kuchlar. Plastinkaning o’rta sirtidan z masofadagi ko’ndalang kesim nuqtasidagi kuchlanish M_x, M_y – eguvchi momentlarga, H – burovchi momentga va Q_x, Q_y – ko’ndalang kuchlarga keltiriladi.
; ; . (1.9)
Bu momentlar va ko’ndalang kuchlar quyidagi muvozanat differensial tenglamasini qanoatlantiradi.
; ; , (1.10)
bu yerda q(x,y) – taqsimlangan yuklanish.
(1.10) dan quyidagi tenglama kelib chiqadi:
. (1.11)
Birlik yuzaga mos keluvchi plastinka deformatsiyasining ishi
A = M_x  æ_x + M_y  æ_y + 2H  æ_xy (1.12)
To’la plastinka uchun

Elastik – plastik egilishda chegaraviy shartlar xuddi elastik plastinkadagi kabi ko’rinishda bo’ladi. Yuqorida keltirilgan tenglamalar momentlar va egrilishlar (yoki ularning tezliklari) orasidagi bog’lanish munosabatlari bilan to’ldirilishi zarur. Bu munosabatlar kuchlanish va deformatsiya orasidagi bog’lanishni ifodalaydi.


Ideal – plastik plastinka. Limitik yuklanish. Agar plastinkaning materiali bikr–plastik jism sxemasiga bo’ysunsa, u holda limitik yuklanishga erishish vaqt momentida plastinka plastik oqish holatiga o’tadi. Bunda plastinkaning ba’zi bir bo’laklari bikr holicha qoladi. Plastik sohalarida esa plastiklikning Mizes yoki Tresk – Sen–Venan shartlari bajariladi.
Bunday holda u, v, w – ko’chishlar o’rniga – tezliklarni qarash lozim bo’ladi.


Mizesning oquvchanlik shartida limitik holat. Plastik oqish nazariyasi tenglamalaridan va (1.8) formuladan σ_x, σ_y, τ_xy kuchlanishlarning qiymatlarining plastinka qalinligi bo’ylab o’zgarmasligi va neytral tekislik orqali o’tishda ular faqat ishoralarini almashtirishlari kelib chiqadi. Shuning uchun (z > 0 da)
, , . (1.13)
Bu qiymatlarni Mizesning oquvchanlik shartiga qo’yib, plastinka uchun limitik shartni olamiz:
(1.14)
bu yerda – plastinka kesimining uzunlik birligidagi limitik eguvchi moment.
Plastik oqish nazariyasi tenglamalaridan egrilik tezliklari uchun quyidagi bog’lanishlar kelib chiqadi:
; ; , (1.15)
bu yerda λ – ixtiyoriy ko’paytuvchi (plastik deformatsiya quvvatiga proporsional).


Tresk – Sen–Venanning oquvchanlik shartida limitik holat. Bu shart quyidagi ko’rinishda yoziladi:
,
bu yerda σ₁ va σ₂ – bosh kuchlanishlar. Bunga (1.13) munosabatni qo’ysak, plastinka uchun mos limitik shartga kelamiz:
. (1.16)
Egrilik tezliklari uchun bog’lanishlar assotsiylangan plastik oqish qonuniyatlaridan aniqlanadi.


Limitik yuklanish. Limitik yuklanish yuqorida keltirilgan muvozanat tenglamalari, (1.14) yoki (1.16) – limitik shart va egrilik tezliklari uchun chiqarilgan bog’lanishlardan topiladi. Bu tenglamalar sistemasining yechimi sezilarli qiyinchiliklar bilan bog’langan (faqat o’qqa nisbatan simmetrik plastinkadan boshqa). Bunga energetik usulining qo’llanilishi yaxshi samara beradi.
Limitik yuklanishni izlashning energetik usullari. Umumiy enstremal teoremalardan kelib chiqadi. Faraz qilaylik,
q = mq₀; q₀ = q₀(x,y);
bu yerda q₀(x,y) – bosimning fiksirlangan taqsimlanishi; m – yuklanish parametri.
Limitik yuklanishning yuqori chegarasi. Limitik yuklanishning yuqori chegarasi haqidagi teoremaga ko’ra ixtiyoriy kinematik mumkin bo’lgan – tezliklar maydoni limitik yuklanishning yuqori chegarasiga – limitik yuklanishning kinematik mumkin bo’lgan koeffisientiga keltiriladi:
, (1.17)
bunda
. (1.18)
Integrallash plastinkaning butun yuzasi bo’ylab bajariladi. Plastinkada ba’zi bikr sohalar bo’lib, plastiklik sharnirlari egri chiziqlari paydo bo’lishi mumkin.


Limitik yuklanishning quyi chegarasi. (1.11) muvozanat differinsial tenglamasini qanoatlantiruvchi va butun plastinka bo’ylab ixtiyoriy taqsimlangan M_x, M_y, H – momentlar kuch qo’yilgan ba’zi m = m_S chegaradagi shartda quyida tengsizlikni qanoatlantiradi:
(1.19)
va bu quyidagi quyi chegaraga kelinadi:
. (1.20)