2. 5-§. Interpolyatsion ko'phadlarning qoldiq hadi bahosini minimallashtirish masalasi. Chebishev ko‘phadlari

5-xossa.

ko’phad, bosh koeffitsiyenti birga teng bo‘lgan -darajali ko‘phadlar ichida da modulining maksimumi eng kichik bo‘lgan yagona ko’phaddir.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni Pn(x) = x” + C^x" 1 4--- b <2n ko‘phad mavjud bo‘lib, u
( 7 )
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda (6) ga asosan, Tn (x) ning bosh koeffitsiycnti birga teng bo‘lib, Tn (x )-P n (x) darajasi n -1 ga teng ko‘phaddir. (7) ga asosan, Tn (x)~ Pn (x )^ 0 . Bundan tashqari, (5> -(7) formulalarga asosan, 7L(x)-P(x) w+1 ta x =cos— , w ~ 0 ,I,,..,л.
2n
nuqtalarda no Idan farqli va almashuvchi ishorali qiymatlar qabul qiladi. Bu esa, o‘z navbatida, darajasi n dan kichik Гл (х) - P„(x) ko‘phad kami deganda n ta nuqtada nolga teng bo‘lishligini anglatadi.
Bu ziddiyat 5-xossani isbot etadi.
5-xossaga asosan Chebishevning ko'phadlari Tn(x) noldan eng kam
og ‘uvchi ко 'phad deyiladi.
[-1,11 oraliqda interpolyatsiyalashning tugun nuqtalar sifatida Тя+1(х) ko‘phadning ildizlari
Xt = cos"1'* 1171, / - 0 , ( 8 ) 1 2«+2 ’
lami olaylik. Unda interpolyatsiyalash qoldiq hadida ishtirok etuvchi bosh koeffitsiyenti birga teng bo‘lgan n + 1-darajali ko‘phad quyidagicha bo‘ladi:
<«я+/х ) = 2-"7;+](х).
U holda 4-xossaga asosan interpolyatsiyalashning qoldiq had
bahosi
max I f(x ) ~ L (x) I < — (9)
[-1,1] 1 7 1 1 (л +1)!2"
ko'rinishgaega bo‘ladi, bu ycrda Mn4| = m ax/ (',+ l'(xj|.
> xossaga asosan, (9) bahoni bundan yaxshilab bo‘lmaydi.
Inkipolyatsiyalashning tugun nuqtalari (8) kolrimshda bo‘lganda (‘Out o‘ng tomonini kichraytirish mumkin bo‘lmagani uchun (8) nuq- litliu | -1,1] oraliq uchun optimal tugun nuqtalar bo‘ladi.
Agar ixtiyoriy [я ,6] oraliq uchun intcrpolyatsiyalash ko‘rilganda
x = -Г(/>-л)/ + b + a], t = -— ( 2 x - b - a ) 2L J b-a
iilinaslitirish yordamida [«,6] oraliq [-1,1] ga o‘tadi, bu holda
ningildizlari
1 /z , \ <2r'4-l>n , \ .
Xi = - (о - a ) cos—-------FD+ a , i = 0.1,...,л ' 2 \v 7 2n+2 ) ko'imishda bo‘ladi. Demak
K - ito l = max |r„+1(/)| = ga teng, interpolyatsiyaiashning xatoligi bahosi esa quyidagicha
bo' ladi: