2- ma’ruza. Nuqtaning ortogonal proeksiyalari. Fazoni chorak va oktantlarga bo’lish, monj epyurasi

2- MA’RUZA. NUQTANING ORTOGONAL PROEKSIYALARI. FAZONI CHORAK VA OKTANTLARGA BO’LISH, MONJ

EPYURASI
2.1. Nuqtani ikki va uchta o‘zaro perpendikulyar tekisliklarga proeksiyalash

Bitta nurda yotuvchi A, A₁, A₂ nuqtalarning gorizontal tekislikka ortogonal proeksiyalanishi bitta proeksiyani tashkil qiladi, ya’ni ustma-ust tushadi. Bunda bitta proeksiya bilan fazodagi A, A₁, A₂ nuqtalarning vaziyatini, aniqlash mumkin bo‘lmaydi(7-rasm). Ularning fazodagi vaziyatini aniqlash uchun kamida ikkita proeksiya etarli bo’ladi. Buning uchun fazoda bir-biriga perpendikulyar bo‘lgan ikkita H va V tekislik olinadi. Bunda, H- gorizontal proeksiya tekislik, V- esa frontal proeksiya tekisligi deb ataladi.

Proeksiya tekisliklar orasi bo‘shliq ya’ni fazo deb olinib, unda A nuqta berilgan. A nuqtaning proeksiyalarini hosil qilish uchun gorizontal H tekislikka perpendikulyar qilib A′ gorizontal proeksiyasi, frontal V tekislikka perpendikulyar proeksiyalab, A″–frontal proeksiyasi hosil qilinadi. (8-rasm).

7-rasm. 8-rasm.

9-rasm.

Ikkita (H va V) tekisliklar kesishish natijasida Ox koordinata o‘qi hosil bo‘ladi. Ana shu o‘q atrofida gorizontal H tekislikni pastga aylantirib, (9-a, rasm) V – frontal tekislik bilan bir tekislikka yoyilsa, uning kompleks chizmasi (epyuri) hosil bo‘ladi(9-b, rasm).

«Epyur»-lotincha so‘z bo‘lib, «tekis chizma» degan ma’noni bildiradi. Buni MONJ chizmasi ham deyiladi.

Geometriyada nuqta, to‘g‘ri chiziq va tekislik yoki jismlarning fazodagi vaziyatini o’zaro perpendikulyar uchta koordinatali tekisliklar sistemasiga nisbatan aniqlash qabul qilingan. Bu metodni fransuz matematigi Fene Dekart (1506-1550) ixtiro qilgani uchun Dekart koordinatalar sistemasi deb yuritiladi. Bu sistemada nuqtaning fazodagi vaziyatini uning X,Y,Z koordinatalari bo‘yicha aniqlanadi. Masalan, fazoda A nuqtaning koordinatalari X_A,Y_A,Z_A bo‘ladi. Ammo dekart sistemasida steriometrik masalalar fikran bajarilsada chizma asboblari bilan aniq geometrik jismlarni yasash va ularni grafik usullar bilan tahlil (analiz) qilish imkoniyatini bermaydi. Shu sababli fransuz geometri va muhandisi Gospar MONJ dekart koordinatalar sistemasi asosida fazodagi har qanday nuqtaning uchta koordinatasini proeksiyalar tekisligi sistemasida ortogonal proeksiyalari bilan o‘zaro grafik bog‘laydi. Bunda geometrik jismlarni bemalol, grafik tasvirlash imkoniyati paydo bo’ladi.

10-rasm.

Ayrim xollarda jismning tuliq tasvirlash uchun ikkita proeksiyasi etarli bulmaydi. Shuning uchun uchinchi tekislik zarur bo’ladi.

Endi berilgan H va V tekisliklarga perpendikulyar qilib uchinchi W - profil proeksiya tekisligi kiritiladi. A nuqtani unga perpendikulyar qilib proeksiyalansa, A nuqta ya’ni A nuqtaning uchinchi, profil proeksiyasi hosil bo‘ladi(10-a, rasm). Uning kompleks chizmasi 10-b, rasmda ko‘rsatilgan. Uchala o’zaro perpendikulyar (H, V, W) tekisliklarni kesishib fazoni «oktant» deb ataluvchi sakkiz bo‘lakka bo‘ladi ya’ni profil tekislikdan chap tomonda I,II,III,IV va ung tomonda V,VI,VII,VIII-oktantlar joylashadi(11-a, rasm).

11-rasm.

«Okto» – lotincha so‘z bo‘lib, “sakkiz” demakdir. Bunda H, V, W proeksiya tekisliklar o‘zaro kesishib, uchta nuqlarini koordinata boshi O ni, H, V tekisliklar kesishib OX ni, V, W tekisliklar kesishib Oz ni, H, W tekisliklar kesishib, Oy koordinata o‘qlarini hosil qiladi. Uchala (H, V, W) tekisliklarni bitta tekislikka jipslashtirilsa yoki yoyilsa, ortogonal (kompleks) chizma (epyur) hosil bo‘ladi(11-b, rasm).

Ko’rinib turibdiki, uchala (x, y, z) o‘qlar koordinata boshi O nuqtada kesishib, xar bir o‘qning O nuqtadan keyingi teskari yo‘nalish tomoni minus (- ) ishora bilan belgilaniladi. Oktantlardan faqat birinchisida uchala koordinata o‘qlari plyus (+) ishorada bo‘ladi va bu oktantda har qanday masalalarni yechish qo‘lay hisoblanadi.

Chizma geometriya fanida metrik va pozitsion masalalarni yechish uchun ortogonal proeksiyalar asosiy rol o‘ynaydi. Sababi H va W proeksiya tekisliklari V-frontal tekislik bilan bitta tekislikka yoyilganda undagi proeksiya teksligiga parallel bo‘lgan barcha masofalar o‘z haqiqiy kattaligida proeksiyalanadi. Shuning uchun metrik va pozitsion masalalarni epyurda echish maqsadga muvofiq xisoblanadi.