2 – Маъруза. Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг тўғри методлари. Тескари матрицани топиш

2.Ҳисоблаш формулалари.
ЭҲМ ёрдамида системани ечиш учун дастлабки А матрицани (9)-кўринишдаги учбурчак матрицага алмаштирадиган ва ўнг томонларни алмаштирадиган алгоритмни кўрсатиш етарли.
Бу формулаларни чиҚарамиз.
Фараз Қиламиз, тўгри йўлнинг k-1 Қадами бажарилган бўлсин. Унда система Қуйидагича кўринишга эга бўлади:
x₁+с₁₂х₂+...+с_1kх_k+...+с_1nх_n=y₁,
х₁+...+с_2kх_k+...+с_2nх_n=y₂,
.................................................
х_k-1+с_k-1,kх_k+...+с_k-1,nх_n=y_k-1, (11)
a_kk ^(k-1)х_k+...+a_kn^(k-1)x_n=f_k^(k-1),
............................................
a_nk^(k-1)x_k +...+a_nn^(k-1)x_n=f_n^(k-1).
Бу системанинг
a_kk^(k-1)x_k+...+a_kn^(k-1)x_n=f_n^(k-1)
к- тенгламасини Қараймиз ва a_kk^(k-1)0 деб фараз Қиламиз.
Бу тенгламанинг Ҳар иккала томонини a_kk^(k-1) -га бўлиб
x_kс_k,k+1х_k+1+...+с_knх_n=y_k (12)
тенгламани Ҳосил Қиламиз, бу ерда
, j=k+1, k+2, ... , n

Бундан сўнг (12) - тенгламани навбат билан a_ik^(k-1), i=k+1,k+2,...,n коэффициентларга кўпайтириб Ҳосил бўлган тенгламани i-тенгламадан айирамиз. Натижада (11) - cистеманинг кейинги тенгламалар гуруҲи Қуйидаги кўринишда бўлади:
х_k+с_k,k+1х_k+1+...+с_knх_n=y_k ,
х_k+1+...+ x_n=f_k+1^(k),
....................................................
х_k+1+...+ x_n=f_n^(k),
бу ерда
a_ij^(k)=a_ij^(k-1)-c_kja_ik^(k-1), i,j =k+1, ... , n,
f_i^(k)=f_i^(k-1)-a_ik^(k-1)y_k , i=k+1,k+2, ..., n.
Шундай Қилиб Гаусс методининг тўгри йўлида оэффициентлар Қуйидагича алмашадилар.
a_kj⁽⁰⁾= a_kj, j=1,2,...,n, k=1,2,...,n,
c_kj= , j=k+1, k+2, ...,n, k=1,2,...,n, (13)
a_ij^(k) =a_ij^(k-1)-c_kja_ik^(k-1) , i,j=k+1, k+2, ...,n, k=1,2,...,n-1, (14)
Ўнг томонлар
f_k⁽⁰⁾ =f_k , y_k= , k=1,2,...,n, (15)
f_i^(k) =f_i^(k-1) - a_ik^(k-1)y_k , i=k+1,k+2,...,n, (16)
c_ij коэффициентлар ва y_{i ў}нг томонлар i=1,2,...,m, j=i+1,i+2,...,n (10) - формулалар ёрдамида тескари Ҳаракатни амалга оширишда фойдаланиш учун ЭҲМ хотирасида саҚланишлари керак.
Гаусс методини Қўлланишга Қўйиладиган шарт a_kk^(k-1) - ларнинг нолга тенг эмасликларидадир. а_kk^(k-1) - етакчи элемент дейилади.
Агар бирор - бир Қадамда етакчи элемент нольга тенг бўлмасдан унга яҚин бўлса Ҳам хатоликларнинг йигилиб бориши натижасида асл ечимдан узоклашиб бориш содир бўлиши мумкин. Бу вазиятдан чиҚиш учун a_kk^(k-1) - элементни a_ij^(k-1),i=k+1,...,n коэффициентларнинг бошҚаси билан алмаштириш лозим.