2 – Маъруза. Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг тўғри методлари. Тескари матрицани топиш

2 – Маъруза.


Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг тўғри методлари. Тескари матрицани топиш.


Режа:

1. 
   Гаусс методи .
   
2. 
   Ҳисоблаш формулалари .
   
3. 
   Амаллар сонини Ҳисоблаш .
   
4. 
   Гаусс методининг Қўлланиш шарти .
   
5. 
   Гаусснинг бош элементни танлаш методи .
   
6. 
   Гаусс методидан фойдаланиб детерминантни Ҳисоблаш .
   
7. 
   Тескари матрицани топиш .
   
8. 
   ЧизиҚли тенгламалар системасининг бошлангич шартларнинг ўзгаришига сезгирлиги . ЧизиҚли тенгламалар системасининг тургунлиги .
   
9. 
   Сезгирлик сони .
   
10. 
    ЧизиҚли тенгламалар системасини Гаусс методи билан ечишда яхлитлаш хатолигининг ечимга таъсири .
    

1.Гаусс методи.
Аx=f (1)
ЧизиҚли тенгламалар системаси берилган б°лсин. Бу ерда А - n x n -матрица, х=(х₁,х₂,...,х_n)^T- топилиши лозим бўлган, f-берилган векторлар.
А матрицанинг детерминанти нолдан фарҚли деб фараз Қилинади.Унда (1)- системанинг ечими мавжуд ва ягона б°лади.
Гаусс методининг асосий гояси (1) - системани эквивалент алмаштиришлар билан т°гри т°ртбурчакли системадан учбурчакли системага олиб келишдан иборат.
(1) - системани тенгламалар к°ринишида ёзамиз:
а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=f_1,
а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=f_{2 ,} (2)
_{.......................................}
а_n1х₁+а_n2х₂+...+а_nnх_n=f_n.
a₁₁0 деб фараз Қиламиз, акс Ҳолда тенгламалар °рнини алмаштириш ва Қайта белгилаш билан системани шу к°ринишга келтириш мумкин. Биринчи тенгламани а₁₁ -га б°либ

х₁+с₁₂х₂+...+с_1nх_n=y₁, (3)

тенгламани Ҳосил Қиламиз, бу ерда

Энди (2) - системанинг Қолган тенгламаларини Қараймиз:

a_i1х₁+а_i2х₂+...+а_inх_n=f_i , i=2,3,...,n. (4)

(3) - тенгликни a_i1 - га к°пайтириб (4) – системанинг i-тенгламасидан айирамиз, i=2,3,...,n . Натижада

х₁+с₁₂х₂+...+с_1jх_j+ ... + с_1nх_n =y₁,
а₂₂⁽¹⁾х₂+...+а_2j⁽¹⁾х_j+...+а_2n⁽¹⁾х_n=f₂⁽¹⁾ _, (5)
......................................................
а_n2⁽¹⁾х₂+...+а_nj⁽¹⁾х_j+...+а_nn⁽¹⁾х_n=f_n⁽¹⁾,
тенгламалар системасини Ҳосил Қиламиз.
Бу ерда
a_ij⁽¹⁾=а_ij –c_1jа_i1, f_i⁽¹⁾ =f_i – y₁ a_i1, i,j =2, 3,...,n . (6)
(5)- системанинг матрицаси

кўринишга эга.
Бундай кўринишли матрицани

каби белгилаш Қабул Қилинган.
Бу ерда "x" белги билан ноль бўлмаган элементлар белгиланган. (5) - системада х₁ - номаълум фаҚат 1-тенгламада бор бўлиб, бошҚа тенгламалардан йўҚотилган. Бундан сўнг
а₂₂⁽¹⁾x₂+...+а_2j⁽¹⁾х_j+...+а_2n⁽¹⁾х_n=f₂⁽¹⁾
...................................................... (7)
а_n2⁽¹⁾x₂+...+а_nj⁽¹⁾х_l+...+а_nn⁽¹⁾х_n=f_n⁽¹⁾
система билан ишлаймиз.
Шундай Қилиб Гаусс методининг биринчи Қадами амалга оширилди. Агар , бўлса, унда (7) - системадан худди биринчи Қадамдагидек х₂ - ни йўҚотиб, (2) - системага эквивалент бўлган матрицаси

кўринишли системага келамиз.
Бунда (5) - системанинг биринчи тенгламаси ўзгаришсиз Қолади. Худди шундай х₃,х₄, ... , х_n ўзгарувчиларни йўҚотиб, (2) - системага эквивалент бўлган
x₁+с₁₂х₂+...+с_1nх_n=y₁,
х₂+...+с_2nх_n=y₂,
................................... (8)
х_n-1+с_n-1,nх_n=y_n-1,
х_n=y_n.
системага эга бўламиз .
Бу система матрицаси
. (9)
бош диагоналидан пастдаги барча элементлари нолдан иборат.
Бундай матрицаларни юҚори учбурчакли матрица деб айтиш Қабул Қилинган. (8)- системани Ҳосил Қилиш Гаусс методининг тўгри йўли деб айтилади. Гаусс методининг тескари йўли х_n,х_n-1,..., х₁ -ларни кетма-кет топишдан иборат. (8) - система матрицаси учбурчакли бўлганлиги учун x_n, x_n-1,...x₁ номаълумларни кетма-кет топиш мумкин.
ҲаҚиҚатан Ҳам x_n=y_n, x_n-1=y_n-1 – c_n-1y_n ва Ҳоказо.
Тескари йўлнинг умумий формулалари:
x_n=y_n.
i=n-1,n-2, ... ,1. (10)
каби ёзиладилар.