2-§. Joqarı tártipli sızıqlı differensial teńlemeler

Mısal. Ózgermeytuǵınlardı variatsiyalaw usılınan paydalanıp, bul xy" + (2x-l)y'= - 4x² (l) bir jınslı emes teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıń.
Sheshiw. Áwel berilgen teńlemeni y" + y'= -4x (x 0) kóriniste jazıp alamız. Uyqas bir jınslı y" + y'= 0 teńlemeni y'= p hám y" = p' dep, ózgeriwshileri ajralatuǵın,
p' + = 0

teńlemege keltiriledi. Ózgeriwshilerdi ajıratıp, keyininen integrallasaq, tómendegilerge iye bolamız:

p =C₁xe^-2x
p nı y' ǵa almastıramız: y'= C₁xe^-2x . Payda bolǵan teńlemeni integrallasaq, bir jınslı teńlemeniń ulıwma sheshimi y= C₁e^-2x(2x+1)+C₂ kelip shıǵadı.
Berilgan teńlemeniń ulıwma sheshimin y= C₁(x)e^-2x(2x+1)+C₂(x) kóriniste izleymiz. (3) ke kóre C₁(x) va C₂(x) funksiyalar

Sistemanı qanaatlandıradı. Odan:

Tabılǵan C₁(x) hám C₂(x) funksiyalardı (2) ge qoysaq berilgen (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi tómendegi
y= C₁ kóriniste boladı.
Berilgen sheshimlerdiń fundamental sistemalarına uyqas bir jınslı differensial teńlemelerdi dúziń (2.1 - 2.8).
2.1. y₁(x)=x, y₂(x)=e^x. 2.2. y₁(x)=1, y₂(x)=cosx.
2.3. y₁(x)=e^x, y₂(x)=x, y₃(x)=x². 2.4. y₁(x)=e^x, y₂(x)=shx, y₃(x)=chx
2.5. (2x+1)yⁿ+(4x-2)y^’-8y=0 teńlemeniń bir y_l =e^-2x jeke sheshimi belgili bolsa, onıń ulıwma sheshimin tabıń.
2.6. (4x²-x)yⁿ+2(2x-1)y'-4y=12x²-6x teńleme jeke sheshimge iye. Bul teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıń.
2.7. y''+tgxy'+cos²xy=0 teńlemeniń bir sheshimi y₁ = cos(sinx) bolsa, onıń y(x)=0, y '(0) =l baslanǵısh shártlerin qánaatlantıratuǵın sheshimin tabıń.
2.8. x³y'''-3x²y''+6xy'-6y = 0 teńlemeniń y₁ = x, y₂=x² jeke sheshimleri járdeminde onıń ulıwma sheshimin tabıń.
Ózgermeytuǵınlardı variatsiyalaw usılınan paydalanıp, tómendegi bir jınslı emes teńlemelerdiń ulıwma sheshimin tabıń (2.9 – 2.12).
2.9. yⁿ+y'tgx = cosxctgx. 2.10. xln хуⁿ - у' = ln²x
2.11. yⁿ+y' = e^2xcose^x. 2.12. xy''-(1+2x²)y' = 4x³ .
2.13. 6 m uzınlıqtaǵı shınjır stol ústinen súykelisiwsiz sırǵanap túsip atır. Eger háreket shınjırınıń 1m uzınlıqtaǵı bólegi asılıp turǵan waqıttan baslansa, pútkil shınjır qansha waqıt ishinde sırǵanap túsedi?
2.14. Agar t=0 de s=0 va t=5 de s=20 bolsa hám hárekettiń tezleniwi waqıtqa baylanıslı túrde a=1,2t formula menen sáwlelendirilse, noqattıń háreket nızamın tabıń.
2.15. m=1 massalı materiallıq noqat oray tárep tuwrı sızıqlı háreket qılıp atır. Onı orayǵa k²x teń bolǵan kúsh penen iyteredi. Bul jerde x-oraydan materiallıq noqatqa shekem bolǵan aralıq. Eger t=0 bolǵanda x=a hám = ka bolsa, háreket nızamın tabıń.