2-§. Joqarı tártipli sızıqlı differensial teńlemeler

2-§. Joqarı tártipli sızıqlı differensial teńlemeler.
n-tártipli sızıqlı differensial teńleme dep,
(1)
kórinistegi teńlemege aytıladı. Bul jerde , ,… , hám lar qandayda bir [a;b] kesindide úzliksiz funksiyalar.
Eger bolsa, (1) teńleme sızıqlı bir jınslı bolmaǵan teńleme dep ataladı. Keri jaǵdayda, yaǵnıy bolsa, (1) teńleme
(2) kóriniske kelip, ol sızıqlı bir jınslı differensial teńleme dep ataladı.
1.Eger n dana a₁, a₂,….., a_n bir waqıtta nólge teń bolmaǵan sanlar ámeldegi bolıp, [a;b] kesindide barlıq x lar ushın
a₁y₁ + a₂y₂ +…..+ a_ny_n = 0 (3)
qatnası orınlansa y₁, y₂,….., y_n funksiyalar sisteması [a;b] kesindide sızıqlı baylanıslı dep ataladı.
Keri jaǵdayda, yaǵnıy (3) qatnastan tek ǵana a₁ = a₂ = …= a_n = 0 bolǵanda ǵana orınlansa, ol jaǵdayda y₁, y₂,….., y_n funksiyalar sisteması sızıqlı erkli dep ataladı.
Eger y₁, y₂,….., y_n funksiyalar (n-1)-márte differensiallanıwshı bolsa onda olardan dúzilgen tómendegi determinant Vronskiy dep ataladı.
Onıń qollanılıwı tómendegi 2 teoremaǵa tiykarlanǵan.
1-teorema. Eger y₁, y₂,….., y_n funksiyalar sızıqlı baylanıslı bolsa, ol jaǵdayda sistemanıń vronskiyan nólge teń boladı.
2-teorema. Eger y₁, y₂,….., y_n sızıqlı erikli funksiyalar bolıp, olar qandayda-bir n – tártipli sızıqlı bir jınslı differensial teńlemeni qánaatlantırsa, ol jaǵdayda bunday sistemanıń vronskiyanı esh bir noqatda nólge aylanbaydı.
2. n – tártipli sızıqlı bir jınslı differensial teńlemeniń y₁, y₂,….., y_n jeke sheshimler sisteması n dana sızıqlı erikli funksiyadan ibarat bolsa, bul sistemanı fundamental sistema deymiz.
1-teorema. Eger y₁, y₂,….., y_n funksiyalar (2) teńleme sheshimleriniń fundamental sistemasın qurasa, ol jaǵdayda olardıń
y=C₁y₁ + C₂y₂ +…+ C_ny_n
sızıqlı kombinaciyası bul teńlemeniń ulıwma sheshimi boladı.
2-teorema. Sızıqlı bir jınslı bolmaǵan (1) differensial teńlemeniń ulıwma sheshimi bul teńlemeniń ỹ jeke sheshimi hám oǵan uyqas bir jınslı (2) teńlemeniń ӯ ulıwma sheshimi jıyındısınan ibarat, yaǵnıy
y = ӯ + ỹ
Eger (2) niń sızıqlı erikli y₁, y₂,….., y_n sheshimleri belgili bolsa, ol jaǵdayda ózgermeslerdi variatsiyalash usılın qollap, (1) dıń ulıwma sheshimin
y = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂ + ... + C_n(x)y_n
formula boyınsha tabıw múmkin, bundaǵı C₁(x) lar
(4)
sistemadan tabıladı.
Mısal. Berilgen sheshimlerdiń fundamental sistemalarına uyqas bir jınslı differensial teńlemelerdi dúziń.

1. 
   e^-x, e^x; b) x³, x⁴; c) e^x, x, x³; d) 1, x, e^x.
   

Sheshiw. a) Ízlenip atırǵan teńlemeniń qálegen sheshimi (onı u dep belgileymiz) e^-x, e^x larǵa sızıqlı baylanıslı boladı. Usınıń sebebinen olardıń Vronskiy determinantı

Bunnan y"-y = 0 kórinistegi izlenip atırǵan teńleme payda boladı.
b) Izlenip atırǵan teńlemeni a) mısaldaǵıǵa uqsas dúzemiz:
C) Izlenip atırǵan teńlemeniń qálegen sheshimi e^x, x, x³ larǵa sızıqlı baylanıslı bolǵanı ushın olardıń Vronskiy determinanti W(e^x, x, x³, y) = 0 boladı. Bul teńlemeni ashıp jazsaq:

Shep tárepdegi determinantdaǵı birinshi baǵanada turǵan e^x ti determinant belgisiniń aldına shıǵarıp, keyininen payda etilgen determinantti aqırǵı baǵana elementleri boyınsha jaysaq, tómendegine iye bolamız:
Payda etilgen teńlemeniń eki tárepin 2e^x ǵa qısqartırsaq, bul kórinistegi

differensial teńlemege iye bolamız.
d) Izlenip atırǵan teńleme bul formada boladı:

Bul teńlemeniń shep tárepindegi determinanttı c) mısaldaǵıǵa uqsas etip esaplaymiz:
Payda etilgen teńlemeniń eki tárepin e^x ǵa qısqartırsaq, tómendegine iye bolamız:
.
Bul ekinshi tártipli sızıqlı differensial teńlemeniń bir sheshimi belgili bolsa, onıń ulıwma sheshimi

kórinistegi Ostrogradskiy-Liuvill formulası járdeminde tabıw múmkin. Bul formulaǵa tiykarlanǵanda berilgen teńlemeniń sheshimi teńlemeniń sheshimi boladı.
Bunı integrallaw ushın onıń hár eki tárepin ǵa kóbeytip, teńlikti esapqa alsaq, yáki teńlemeni payda etemiz. Bunnan yáki kelip shıǵadı.