2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integral

4-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni mavjudlik sharti va uni hisoblash

1. Egri chiziqli integralni mavjudligi. Biz ikkinchi tur integralni mavjud bo‘lishligining ba’zi yetarli shartlarini ko‘rib chiqamiz.

Aytaylik, to‘g‘rilanuvchi AB egri chiziq

 tenglamalar bilan berilgan bo‘lib,

 va

 funksiyalar

 oraliqda uzluksiz,

 funksiya shu oraliqda uzluksiz hosilaga ega va parametrning

 qiymatiga A nuqta,

 qiymatida B nuqta mos kelsin (3-rasm).

 funksiya uchun integral yig‘indini tuzamiz:

 yig‘indini t o‘zgaruvchi orqali ifodalaymiz.

t parametning AB egri chiziqning

 bo‘linish nuqtalariga mos kelgan qiymatlarini

 bo‘lakchadan olingan

 nuqtalarga mos kelgan qiymatlarni

 orqali belgilaymiz, ya’ni,

va

.

U holda

 integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishni oladi:

 funksiya har bir

 oraliqda Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun

 oraliqda biror

 nuqta topilib,

 tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda

.

Bularga asosan integral yig‘indi

 ni quyidagicha yozib olamiz:

Bu yig‘indida

 bo‘lganda, u

 funksiyaning integral yig‘indisini ifodalagan bo‘lar edi. Umuman olganda

 va

 lar turlicha bo‘lib, bu yig‘indi integral yig‘indini ifodalamaydi.

 ayirmani

 orqali belgilab,

 yig‘indini quyidagicha yozib olamiz:

    (1)

 funksiya AB egri chiziqda,

 funksiyalar

 oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun (1) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchi

 oraliqda uzluksiz bo‘lgan

 funksiyaning integral yig‘indisi.

Demak, y

 oraliqda integrallanuvchi, ya’ni

 bu yerda

 bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasi.

(1) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi

 da nolga intiladi. Haqiqatan,

 funksiya

 oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun u shu segmentda chegaralangan, ya’ni shunday K son topilib, ixtiyoriy

 uchun

         (2)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

 funksiya

 oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun u shu oraliqda tekis uzluksiz, ya’ni, har bir

 uchun, shunday

 son topilib,

 bo‘lganda

 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

AB yoyni shunday

 mayday bo‘laklarga bo‘laylikki, natijada

 ayirma uchun

 tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda

 tengsizlik o‘rinli bo‘lib, bundan

         (3)

tengsizlik kelib chiqadi.

(2) va (3) tengsizliklardan

tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa

                 (4)

kelib chiqadi.

(1) va (4) tengliklardan

              (5)

tenglikni hosil qilamiz.

Shunga o‘xshash

 funksiya AB yoyda uzluksiz,

 funksiya

 oraliqda uzluksiz

 hosilaga ega bo‘lsa, u holda

                        (6)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Agar AB yoyda

 va

 funksiyalar uzluksiz,

 va

 funksiyalar

 oraliqda uzluksiz

 va

 hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

 integral mavjud va ushbu formula o‘rinli:

.  (7)