2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integral

2-§. Ikkinchi tur egri chiziqli integral

1. Tekis kuch maydonining bajargan ishi. Oxy tekislikda moddiy figurani ifodalovchi yopiq D soha berilgan bo‘lsin va har bir

 nuqtadagi massaga ta’sir qiluvchi

 kuch berilgan bo‘lsin. Bu holda D sohada

 kuch maydoni berilgan deyiladi.

Aytaylik, kuch maydoni ta’sirida moddiy nuqta D sohada joylashgan to‘g‘rilanuvchi BC chiziq bo‘ylab harakat qilsin. Moddiy nuqtani kuch maydoni ta’sirida B nuqtadan C nuqtaga o‘tguncha bajargan A ishini topish talab qilingan bo‘lsin (3-rasm).

3-rasm

Masalani hal qilish uchun BC yoyni

 nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz. Bir xillik bo‘lishi uchun

 deb belgilaylik.

 nuqtaning koordinatalarini

 orqali belgilab,

 va 

 nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘yicha tutashtirib, BC chiziqqa ichki chizilgan siniq chiziqni hosil qilamiz.

 yoyda ixtiyoriy

 nuqta olib kuchning bu nuqtadagi qiymatini

 orqali belgilaymiz.

 to‘g‘ri chiziq kesmasida ta’sir etuvchi

 kuch o‘zgarmas va u

 deb olsak, u holda kuchning

 to‘g‘ri chiziqli qismda bajargan ishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

,                 (1)

bu yerda

 vektorning uzunligi,

 vektorning uzunligi,

 esa

 va

 vektorlar orasidagi burchak.

 kuchning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda

 va

 orqali belgilasak, u holda

 va

 tengliklarga ega bo‘lamiz, bu yerda

 va

 lar birlik vektorlar.

 va

 lar

 vektorning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari bo‘lgani uchun, quyidagi tenglikni yozib olamiz:

(1) tenglikning o‘ng tomoni

 va

 vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bo‘lgani uchun

 tenglikni hosil qilamiz.

Yuqoridagi farazimiz bo‘yicha moddiy nuqta

 kuch ta’sirida

 siniq chiziq bo‘ylab, B nuqtadan C nuqtaga o‘tganda bajargan ishi quyidagicha topiladi:

               (2)

 bo‘lakchalar qancha kichik bo‘lsa,

 ning qiymati kuch maydonining bajargan ishi A ga yetarlicha yaqin bo‘ladi.

 bo‘lakchalarning uzunliklarining eng kattasi

 deb olaylik.

Agar (2) yig‘indi

 da limitga ega bo‘lib, bu limit BC yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan

 nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit kuch maydonining BC yoy bo‘ylab, B dan C ga o‘tganda bajargan ishi deb olinadi, ya’ni

.                   

Agar

 yoki

 bo‘lsa, u holda (2) formula o‘rniga mos ravishda quyidagi yug‘indilarga ega bo‘lamiz:

           (3).

Ko‘pgina nazariy va tatbiqiy masalalarni yechish (2) va (3) yig‘indilarni limitlarini topishga keltiriladi. Shuning uchun bunday yig‘indilarning limitlarini topishni o‘rganish katta ahamiyatga ega.