2- §. Waqıyalar algebrası. Itimallıqlardı qosiw hám ko’beytriw teoremalari. Shártli itimallıq 14. 1

14. 2. 5. Beyes formulası. Eger A waqiya juz bergeni málim bolsa, ol túrde
Itimallıqlardı qayta bahalaw múmkin, yaǵnıy P_A( B_K ) shártli itimallıqlardı bul Beyes formulası járdeminde tabıw múmkin:

1-mısal. Tsexda bir neshe stanok isleydi. Smena dawamında bir stanoktı sazlawdı talap etiw itimallıg’ı 0, 2 ge teń, eki stanoktı sazlawdı talap etiw itimallıg’ı 0, 13 ke teń. Smena dawamında ekiden artıq stanoktı sazlawdı talap etiw itimallıg’ı bolsa 0, 07 ge teń. Smena dawamında stanoklardı sazlawdı talap etiliwi itimallıg’ın tabıń.
Sheshiw : To’mendegi waqiyag’a qaraymiz: A — smena dawamında bir stanok sazlawdı talap etiw ha’diysesi;
B — smena dawamında eki stanok sazlawdı talap etiw waqiyası;
S — smena dawamında 2 den artıq stanok sazlawdı talap etedi waqiyası.
A, B, C waqiyalar o’z-ara birgelikte emes. Bizdi to’mendegi waqiya qizıqtıradı: (A + B + C) — smena dawamında sazlaw zárúr bolatuǵın stanoklar :

2- mısal. Eki ańshı bir waqıtta bir-birine baylanıslı bolmag’an túrde qoyang’a qarata oq u’zildi. Ańshılardan esh bolmag’anda biri oqtı nıshanǵa tiygizse, qoyan atip alınǵan boladı. Birinshi ańshınıń nıshanǵa urıw itimallıg’ı 0, 8 ge, ekinshisiniki 0, 75 ke teń bolsa, qoyandı atip alıw itimallıg’ın tabıń.
Sheshiw: To’mendegi waqiyalardı qaraymız .
A – birinshı an’shı nıshang’a tiygiziwi
B – ekinshı an’shı nıshang’a tiygiziwi
A hám B erkli waqiyalar. Bizdi ( A + B ) waqiya qızıqtıradı. ( A + B ) – hesh bolmag’anda bir an’shının’ nıshang’a tiygiziwi. Onda

3- mısal. Komandada 12 sportshı bolıp, olardıń 5 ewi sport ustası. Sportshılar ishinen chek taslaw arqalı úsh sportshı saylanadı. Saylanǵan sportshılardıń ha’mmesi sport ustası bolıw itimallıg’ın tabıń.
Sheshiw :
A₁ – birinshı sportshı – sport ustası;
A₂ – ekinshı sportshı – sport ustası;
A₃ – ushınshı sportshı – sport ustası;
A = A₁ • A₂ • A₃ - ush sportshı – sport ustası.
A₁, A₂, A₃ waqiyalar – baylanıslı waqiyalar. Demek ,

4- mısal. Student o’zine kerekli formulanı 3 mag’lıwmatnamadan qidiradi. Formula birinshi, ekinshi, úshinshi mag’liwmatnamada bolıw itimallıg’ın uyqas túrde 0, 6 ; 0, 7; 0, 8 ge teń. Formula :
a) tek bir mag’lıwmatnamada bolıwı;
b) tek eki mag’lıwmatnamada bolıwı;
v) u’sh mag’lıwmatnamada bolıwı;
g) hesh bolmag’anda bir mag’lıwmatnamada bolıw itimallıg’ın tabıń.
Sheshiw . To’mendegi waqiyalardı qaraymız :
A₁ — formula birinshi mag’lıwmatnamada bar,
A₂ — formula ekinshi mag’lıwmatnamada bar,
A₃ — formula úshinshi mag’lıwmatnamada bar.
- formula tek bir mag’lıwmatnamada bar.
waqiyalar birgelikte emes ha’m A₁, waqiyalar baylanıslı emes. Demek ,

b) A = A₁A₂Ā₃+A₁Ā₂A₃+Ā₁A₂A₃ – formula tek eki mag’lıwmatnamada bar. Demek
P( A ) = 0,6•0,7•0,2+0,6•0,3•0,8+0,4•0,7•0,8 = 0,452.
v) A = A₁A₂A₃ – formula u’sh mag’lıwmatnamada bar.

g) A = A₁+A₂+A₃ – formula hesh bolmag’anda bir mag’lıwmatnamada bar. Usı halda A waqiyag’a qarama-qarsı waqiyanı qaraw qolay.
Ā – formula hesh bir mag’lıwmatnamada joq.
Ā = Ā₁Ā₂Ā₃ – ol jag’dayda P (A) = 1 – P (Ā).

Solay etip , a) P(A) = 0,188 ; b) P(A) = 0,452; v) P(A) = 0,336; g) P(A) = 0,976.
5 - misal. Birinshi qutıda 2 aq, 6 qara, ekinshi qutıda bolsa 4 aq, 2 qara shar bar. Birinshi qutıdan táwekeline 2 shar alıp, ekinshi qutıg’a salındı, sonnan keyin ekinshi qutıdan táwekeline bir shar alındı.

1. 
   Alıng’an shar aq bolıw itimallıg’ı qanday ?
   
2. 
   Ekinshi qutıdan alıng’an shar aq bolıp shıqtı . Birinshi qutıdan alıp ekinshi qutıg’a salıng’an 2 shar aq bolıw itimallıg’ı qanday ?
   

Sheshiw : a) To’mendegi belgilewlerdi kiritemiz.
A – ekinshi qutıdan alıng’an shar aq.
B₁ – birinshi qutıdan ekinshi qutıg’a 2 aq shar salıng’an.
B₂ – birinshi qutıdan ekinshi qutıg’a 2 tu’rli ren’degi shar salıng’an.
B₃ – birinshi qutıdan ekinshi qutıg’a 2 qara shar salıng’an .
B₁, B₂, B₃ – waqiyalar tolıq gruppa payda etedi. Onda tolıq itimallıq formulasına ko’re

Gipotezalardın’ itimallıqların hám (A) sha’rtli itimallıqlardı klassik sxema boyınsha esaplaymız:

Tawılg’an na’tiyjelerdı tolıq itimallıq formulasına qoyamız:

b ) P_A(B₁) itimallıqtı Beyes formulası boyınsha tawamız:

2 - tapsırma

1. 
   Kursant o’tiw boyınsha «sınaw» tapsırıwı ushın 4 ten tómen Bolmag’an baha alıwı kerek. Eger kursant o’tkenine «5» baxanı 0, 3, «4» baxanı 0, 6 itimallıq menen alıwı málim bolsa, kursanttın’ «sınaw» tapsıra alıw itimallıg’ın tabıń. J: p = 0,9
   
2. 
   Eki mergen nıshanǵa qarata birden oq úziwde. Birinshi mergenniń nıshanǵa tiygiziw itimallıg’ı 0, 6 ǵa, ekinshisi ushın 0, 7 ge teńligi málim bolsa, to’mendegi waqiyalardın’ itimallıqların tabıń :
   

a) mergenlerdiń tek birewiniń nıshanǵa tiygiziwi;
b) mergenlerdiń hesh bolmag’anda biri nıshanǵa tiygiziwi;
v) eki mergen nıshanǵa tiygiziwi;
g) hesh bir mergendiń nıshanǵa tiygize almasligı;
d) mergenlerdiń hesh bolmag’anda biri nıshanǵa tiygize almaslıg’ı.
J: a) 0,46 b) 0,6 v) 0,42 g) 0,12 d) 0,58

3. 
   Jıynawshıg’a zárúr detal birinshi, ekinshi, úshinshi, tortinshi yashikde ekenligi itimallıg’ı uyqas túrde 0, 6 ; 0, 7; 0, 8; 0, 9 ǵa teń. Zárúr detal:
   

a) ko’bi menen 3 yashikde bolıwı;
b) kemi menen 2 yashikde bolıw itimallıg’ın tabıń.
J: a) 0, 6976 ; b) 0, 9572.

4. 
   Gruppada 10 student bolıp, olardıń 7 ewi ayrıqsha. To’rt student dekanatqa shaqırtırıldı. Olardıń barlıǵı ayrıqsha bolıw itimallıg’ın tabıń. J: .
   
5. 
   Ush zavod saat islep shıg’aradı hám magazinge jiberedi. Birinshi zavod pútkil ónimniń 40% ini, ekinshi zavod 45% ini, úshinshi zavod bolsa 15% ini tayarlaydı. Birinshi zavod shıg’arg’an saatlardıń 80% i, ekinshi zavod saatlarınıń 70% i, úshinshi zavod saatlarınıń 90% i ilgerilep ketedi. Satıp alınǵan saattıń ilgerilep ketiwi itimallig’ın tabıń. J: 0, 77.
   
6. 
   Samolyotqa qarata ush oq úzilgen. Birinshi atıwda nıshanǵa tiyiw itimallıg’ı 0, 5 ke, ekinshisinde 0, 6 ǵa, úshinshisinde 0, 8 ge teń. Bir oq tiygende samolyottıń urib túsiriliwi itimallıg’ı 0, 3 ke, eki oq tiygende 0, 6 ǵa teń. Ush oq tiyse, samolyot urib túsiriledi. Samolyottıń urib tu’siriliw itimallıg’ın tabıń. J: 0, 594.
   
7. 
   Spartakiyada birinshi gruppadan 4 student, ekinshi gruppadan 6, úshinshi gruppadan 5 student qatnasadı. Institut terme jámáátine birinshi gruppa daǵı student 0, 9 itimallıq menen, ekinshi gruppa studenti 0, 7 hám úshinshi gruppa studenti 0, 8 itimallıq penen qabıl qılınıwı múmkin. Táwekeline saylanǵan student terme jámáátke qabıl qılındı. Bul studenttiń qaysi gruppada oqıw itimallıg’ı úlkenrek ? J: Studenttiń ekinshi gruppada oqıw itimallıg’ı úlkenrek.
   
8. 
   Tsexda tayarlanatuǵın detallar eki qadaǵalawshı tárepinen tekseriledi. Detaldın’ qadaǵalaw ushın birinshi qadaǵalawshına túsiwi itimallıg’ı 0, 6 ǵa, ekinshi qadaǵalawshına túsiwi 0, 4 ke teń. Jaramlı detaldın’ birinshi qadaǵalawshı tárepinen jaramsiz dep tabılıwı itimallıg’ı 0, 06 ǵa, ekinshi qadaǵalawshı ushın bolsa 0, 02 ge teń. Jaramsiz dep tabılǵan detallar tekserilgende olar ishinen jaramlılıg’ı shıg’ıp qaldı. Bul detaldı birinshi qadaǵalawshı teksergenligi itimallıg’ın tabıń . J:
   

2. 
   – o’zbetinshe jumıs
   

1. 
   Bir oq úziwde nıshanǵa tiyiw itimallıg’ı birinshi mergen ushın P g’a, ekinshi mergen ushın 0, 7 ge teń. Mergenler bir waqıtta oq úziwgende anıq bir oqtın’ nıshanǵa tiyiw itimallıg’ı 0, 38 ge teńligi málim bolsa, P ni tabıń. J: 0, 8.
   
2. 
   Mergenniń bir oq úziwde 10 ashko urıw itimallıg’ı 0, 05 ke, 9 ochko urıw itimallıg’ı 0, 2 ge, 8 ochko urıw itimallıg’ı 0, 6 ǵa teń. Bir oq uzildi. To’mendegi waqiyalardın’ itimallıqların tabıń :
   

A — 8 den kem bolmag’an ochko urılǵan ;
B — 8 den ko’p ochko urılǵan.
J: P (A) =0, 85; P (B) =0, 25.

3. 
   Ustaxanada ush stanok islep atır. Smena dawamında birinshi stanoktıń sazlawdı talap etiw itimallıg’ı 0, 15 ke, ekinshi stanok ushın 0, 1 ge, úshinshi stanok ushın bolsa 0, 12 ge teń. Stanoklar teńdeyine (bir waqıtta ) sazlawdı talap etpeydi dep esaplap, smena dawamında hesh bolmag’anda bir stanok sazlawdı talap etiwi itimallıg’ın tabıń. J: 0, 3268
   
4. 
   Yashikte 15 detal bolıp, olardıń 10 nı boyalg’an. Jıynawshı táwekeline 3 detal aladı. Alınǵan detallardın’ barlıǵı boyalg’an bolıw itimallıg’ın tabıń. J: P = 0, 264.
   
5. 
   Qandayda bir fizikalıq shamanı bir ret olshewde berilgen anıqlıqtan úlken bolg’an qátelikke jol qoyılıw itimallıg’ı 0, 4 ke teń. Ush baylanıslı bolmag’an o’lshew o’tkezildi. Bul o’lshewlerdin’ tek birewinde jol qoyılg’an qáte berilgen anıqlıqtan úlken bolıw itimallıg’ın tabıń. J: 0, 392.
   
6. 
   Student 25 imtixan sorawlarınan 20 sına tayarlanıwǵa ulgurdi. Student táwekeline alınǵan ush sorawdıń keminde ekewin biliwi itimallıg’ın tabın’.
   

J:

7. 
   Jiynaw tsexina ush avtomattan detallar kelip túsedi. Birinshi avtomat 0, 3%, ekinshisi 0, 2%, úshinshi 0, 4% jaramsiz detal islep shıg’ariwi málim. Eger birinshi avtomattan 1000 , ekinshisidan 2000, úshinshisidan 2500 dana detal kelip túskeni málim bolsa, jiynaw tsexina jaramsiz detal kelip túskenligi itimallıg’ın tabıń. J : 0,003091
   
8. 
   Benzin qúyiw bándirgisi janınan jeńil hám júk mashinaları o’tip turadı. Olardıń 60% ini júk mashinaları quraydı. Utib ketip atırǵan mashinanıń benzin alıw ushın toqtaw itimallıg’ı júk mashinası ushın 0, 1 ge, jeńil mashina ushın bolsa 0, 2 ge teń. Benzin qúyiw bándirgisine benzin quyip alıw ushın mashina kelip toqtadi. Bul júk mashinası ekenligi itimallıg’ın tabıń. J :