17,18-Mavzu: approksimatsiya masalasini yechishda eng kichik kvadratlar usuli. Chiziqli va kvadratik modellar

17,18-Mavzu: APPROKSIMATSIYA MASALASINI YECHISHDA ENG KICHIK KVADRATLAR USULI. CHIZIQLI VA KVADRATIK MODELLAR

Funksiya qiymatlari jadval ko’rinishda berilgan bo’lsa, hamda funksiya qiymatlarida tartibdagi sistematik xatolar mavjud bo’lsa interpolyatsiya usulini to’liq jadvalga tatbiq qilish samarasiz ekanligi qayd qilingan. Shuning uchun jadval qiymatlari ko’p bo’lib, to’liq jadval asosida yagona bog’lanish modelini topish talab qilinayotgan bo’lsa eng kichik kvadratlar usulidan foydalangan ma’qul. Bu xolatda topilgan model qiymatlari jadval qiymatlariga iloji boricha yaqin bo’lishini ta’minlashimiz kerak bo’ladi. Biz bu yerda ikkita, chiziqli va kvadratik bog’lanish hollarini ko’ramiz. Xususan, chiziqli model deganda kvadratik model deganda ko’rinishdagi modellarni (formulalarni) tushunamiz. Jadval qiymatlarga yaqinlik sharti sifatida esa

(6.1)


(6.2)

shartlar olinadi. (6.1), (6.2) shartlarga ko’ra noma’lum koeffisientlar larni topish uchun tenglamalar hosil qilamiz. Funksiya minimumga erishish zaruriy shartiga ko’ra (6.1) shart uchun

(6.3)

(6.2) shart uchun esa

(6.4)

sistemalar hosil bo’ladi.

Shunday qilib chiziqli model koeffisientlarini (6.3) sistemadan, kvadratik model koeffisientlarini esa (6.4) sistemadan topamiz. Topilgan model qiymatlari bilan berilgan jadval qiymatlarini taqqoslash asosida esa tanlangan model o’rinli yoki noo’rinligi haqida xulosa chiqarishimiz mumkin. Bunda asosiy me’zon sifatida model qiymatlar bilan jadval qiymatlari farqi sistematik xatolar tartibidan oshib ketmasligi olinadi. Eng kichik kvadratlar usulining yana bir yaxshi tarafi u jadval qiymatlar orasida tasodifiy xatolar uchrab qolsa ularni aniqlash imkoniyatini berar ekan. Buning uchun barcha lar uchun xisoblanadi. Agar barcha lar tartibida bo’lib, faqat bitta yoki ikkitasida qiymati dan bir necha barobar katta chiqsa jadvalning shu qiymatida tasodifiy xatolik mavjud ekan degan xulosaga kelamiz. Bu xolda jadvaldan ana shu shubxali nuqtani chiqarib tashlab, yangi jadval asosida qaytadan tuzatilgan model quriladi.
Biz quyida keltirilgan qoidalarning tadbiqiga bir na’munaviy misol ko’ramiz.
Misol:

0	0	-2
1	0,1	-2,394
2	0,2	-2,772
3	0,3	-3,128
4	0,4	-3,456
5	0,5	-3,75
6	0,6	-4,004
7	0,7	-4,212