Koshining integral alomati.
3-Teorema. Musbat hadli
qatorning hadlari
oraliqda uzluksiz
monoton kamayuvchi
funksiyaning qiymatlari sifatida, ya’ni
,
,…,
,… ko’rinishda berilgan bo’lsin. U holda
1) Agar
xosmas integral yaqinlashsa,
qator ham yaqinlashadi;
2) Agar
xosmas integral uzoqlashsa,
qator ham uzoqlashadi.
3-Misol.
qator yaqinlashishini tekshiring.
►Koshining integral alomatidan foydalanamiz.
funksiya 6-Teoremaning
barcha shartlarini qanoatlantiradi. Uning integralini hisoblaymiz:
| ||
Demak, berilgan
qator uzoqlashuvchi bo’lar ekan.◄
(2)
qator
umulashgan garmonik qator deb ataladi, bu yerda
haqiqiy son. (2)
qatorning yaqinlashishsini tekshirish uchun Koshining integral alomatini qo’llaymiz.
funksiyani qaraymiz. Bu funksiya uzluksiz,
oraliqda
monoton kamayadi va
bo’ladi.
bo’lganda
|
(
) {
bo’lganda (2) qator garmonik qatorga aylanadi va u uzoqlashuvchi.
Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar. Ishoralari navbatlashuvchi deb atalmish
qatorlarning muhim sinfini qaraymiz.
(3)
ko’rinishdagi qatorlarga
ishoralari navbatlashuvchi qatorlar deb ataladi, bu yerda
,
,
,… musbat sonlar.
Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar yaqinlashishining yetarli alomatini ifodalovchi
ushbu teorema Lebnis tomonidan isbotlangan.
4-Teorema (Leybnis alomati). Agar
1) Qator hadlarining absolyut qiymatlari ketma-ketligi monoton kamaysa, ya’ni
;
2) Umumiy had nolga intilsa:
,
u holda (3) qator yaqinlashadi va bunda qatorning
yig’indisi
(4)
tengsizliklarni qanoatlantiradi.
Mulohaza. Birinchi hadi manfiy bo’lgan
(5)
ko’rinishdagi qator hadlarini ga ko’paytirib, (4) ko’rinishdagi qatorga keltiriladi.
(4) tengsizliklar qatorning
yig’indisini
qismiy yig’indi bilan
almashtirilganda yo’l qo’yiladigan xatoliklarni baholash imkonini beradi. Tashlab
yuborilgan qoldiq qator ham
ishoralari navbatlashuvchi
qator bo’lib, uning yig’indisi sbsolyut qiymati bo’yicha birinchi hadidan kichik, ya’ni
Shuning uchun xatolik absolyut qiymat bo’yicha tashlab yuborilgan
hadlarning birinchisidan kichik.
4-Misol.
qatorning yig’indisini taqribiy hisoblang.
►Berilgan qator Leybnis teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.
Shuning uchun u yaqinlashuvchi. Uning yigindisi sifatida dastlabki beshta hadini
olishimiz mumkin:
Yo’l qo’yilgan xatolik
dan kichik. Demak, ◄
O’zgaruvchan ishorali qatorlar. Cheksiz ko’p manfiy va cheksiz ko’p musbat
hadlardan iborat
qatorga o’zgaruvchan ishorali qator deb ataymiz. Ishoralari
navbatlashuvchi qator o’zgaruvchan ishorali qatorning xususiy holi.
Masalan,
,
(plyus, ikkita minus, plyus, ikkita minus va hokazo) qatorlar o’zgaruvchan ishorali
qatorlar.
O’zgaruvchan ishorali qatorlar uchun yaqinlashishning quyidagi umumiy yetarli
sharti o’rinli.
5-Teorema. O’zgaruvchan ishorali
(6)
qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
|
| |
| |
| (7)
qator yaqinlashsa, berilgan (6) qatorning o’zi ham yaqinlashadi.
(6) qatorning yaqinashuvchi bo’lishligidan (7) qatorning ham yaqinlashishi kelib
chiqmaydi.
5-Misol.
qator yaqinkashishini tekshiring.
►Ishoralari navbatlashuvchi bu qator Leybnis teoramasining barcha shartlarini
qanoatlantiradi. Shu sababli u yaqinlashadi. Biroq bu qator hadlarining absolyut
qiymatlaridan tuzilgan
qator uzoqlashishini ko’rgan edik
(garmonik qator).◄
Sonli qatorlarning absolyut va shartli yaqinlashishsi.
1-Ta’rif. O’zgaruvchan ishorali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
qator yaqinlashsa, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
2-Ta’rif. O’zgaruvchan ishorali qatorning o’zi yaqinlashib, bu qator hadlarining
absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator esa uzoqlashsa, berilgan qator shartli
yaqinlashuvchi deyiladi.
O’zgaruvchan ishorali qatorlar orasida absolyut yaqinlashuvchi qatorlar muhim
o’rin tutadi. Bunday qatorlar chekli yigindilar ega bo’lgan o’rin almashtirish, guruhlash
va taqsimot xossalariga ega.
Bu xossalar quyidagi teoremalar orqali keltirilgan.
6-Teorema (Dirixle). Agar qator absolyut yaqinlashuvchi va uning yig’indisi
ga teng bo’lsa, bu qator hadlarining o’rinini almashtirishdan hosil bo’lgan qator ham
yaqinlashadi va yigindisi
ga teng bo’ladi.
7-Teorema. Yig’indilari
va
ga teng bo’lgan absolyut yaqinlashuvchi
qatorlarni hadma-had qo’shish (ayirish) mumkin. Natijada yigindisi
(mos
ravishda
) ga teng bo’lgan absolyut yaqinlashuvchi qator hosil bo’ladi.
va
qatorlarning ko’paytmasi deganda
ko’rinishdagi qatorga aytiladi.
8-Teorema. Yig’indilari
va
ga teng bo’lgan absolyut yaqinlashuvchi
qatorlarning ko’paytmasi ham absolyut yaqinlashadi va uning yig’indisi
ga teng
bo’ladi.
Shartli yaqinlashuvchi qatorlar uchun bu xossalar umuman olganda o’rinli emas.
Shartli yaqinlashuvchi qator hadlarining o’rnini shunday almashtirish mumkinki,
natijada hosil bo’lgan qatorning yig’indisi o’zgarib ketadi.
Masalan, 4-Misolda qaralgan
qator shartli yaqinlashadi. Uning
yigindisi
bo’lsin. Bu qator hadlarining o’rnini bitta musbat haddan keyin ikkita
manfiy had keladiga qilib almashtiramiz. Natijada
(
)
tenglikka ega bo’lamiz, ya’ni yig’indi ikki barobarga kamayib ketdi.
Bu misolni umumlashtirib, quyidagi teoramani keltirish mumkin.
9-Teorema (Riman). Agar qator shartli yaqinlashsa, oldindan berilgan
son
qanday bo’lishidan qat’iy nazar qator hadlarining o’rnini shunday almashtirish
mumkinki, natijada hosil bo’lgan qatorning yig’indisi ana shu
soniga teng bo’ladi.
