16 Veyvlet-bazis. Spektral ifodalashning asosiy xususiyatlari To'lqinli signal transformatsiyasi bu spektral tahlilning umumlashtirilishi, uning tipik vakili klassik Furye transformatsiyasidir

16 ) Veyvlet-bazis. Spektral ifodalashning asosiy xususiyatlari
To'lqinli signal transformatsiyasi - bu spektral tahlilning umumlashtirilishi, uning tipik vakili klassik Furye transformatsiyasidir. "Veyvlet" atamasi ingliz tilida "kichik (qisqa) to'lqin" degan ma'noni anglatadi. To'lqinlar - vaqt va chastotasi bo'yicha mahalliy bo'lgan va barcha funktsiyalar uning vaqt o'qi bo'ylab siljishi va cho'zilishi orqali bitta asosiy (generator) dan olinadigan ma'lum bir shakldagi matematik funktsiyalar oilalarining umumlashtirilgan nomi. To'lqinli transformatsiyalar tahlil qilingan vaqt funktsiyalarini vaqt va chastotada lokalizatsiya qilingan tebranishlar nuqtai nazaridan ko'rib chiqadi. Odatda, to'lqinli o'zgarishlar (WT) diskret (DWT) va doimiy (CWT) ga bo'linadi.

DWT signalni o'zgartirish va kodlash uchun ishlatiladi, CWT signalni tahlil qilish uchun ishlatiladi. To'lqinli o'zgarishlar hozirda keng ko'lamli ilovalar uchun qabul qilinmoqda, ko'pincha an'anaviy Furye transformatsiyasini almashtiradi. Bu molekulyar dinamika, kvant mexanikasi, astrofizika, geofizika, optika, kompyuter grafikasi va tasvirni qayta ishlash, DNK tahlili, oqsil tadqiqotlari, iqlim tadqiqotlari, umumiy signallarni qayta ishlash va nutqni aniqlash kabi ko'plab sohalarda kuzatiladi.

To'lqinli tahlil - tabiiy muhit va ob'ektlarning jarayonlari va fizik xususiyatlari to'g'risida ushbu signallar tomonidan ko'rsatiladigan signallar va jismoniy ma'lumotlarni chiziqli o'zgartirishning maxsus turi. Signallarning to'lqinli parchalanishi amalga oshiriladigan o'ziga xos funktsiyalarning asosi ko'plab o'ziga xos xususiyat va imkoniyatlarga ega.

Bazaning to'lqinli funktsiyalari an'anaviy Furye va Laplas transformatsiyalari yordamida aniqlanmaydigan tahlil qilinadigan jarayonlarning ba'zi mahalliy xususiyatlariga e'tibor qaratish imkonini beradi. Geofizikadagi bunday jarayonlarga tabiiy muhitning turli fizik parametrlari sohalari kiradi. Bu, birinchi navbatda, harorat, bosim, seysmik izlarning profillari va boshqa jismoniy miqdorlarga tegishli. To'lqinlarning statsionar bo'lmagan signallarni vaqt yoki makonda komponent tarkibidagi o'zgarishlar bilan tahlil qilish qobiliyati fundamental ahamiyatga ega.

To'lqinlar argumentlar (mustaqil o'zgaruvchilar) o'qi bo'ylab lokalizatsiya qilingan, nol integral qiymati bo'lgan qisqa to'lqinli paketlar shakliga ega, siljish o'zgarmas va masshtablash (siqish / kengaytirish) operatsiyasiga chiziqli. Vaqt va chastotani ifodalash bo'yicha lokalizatsiya nuqtai nazaridan to'lqinlar chastotada lokalizatsiya qilingan harmonik (sinusoidal) funktsiyalar va vaqt bo'yicha lokalizatsiya qilingan Dirac funktsiyasi o'rtasida oraliq pozitsiyani egallaydi.

To'lqinlar nazariyasi fundamental nazariya emas, lekin u ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun qulay va samarali vositani taqdim etadi. To'lqinli o'zgarishlarni qo'llashning asosiy sohasi - bu vaqt bo'yicha statsionar bo'lmagan yoki kosmosda bir hil bo'lmagan signallar va funktsiyalarni tahlil qilish va qayta ishlash, bunda tahlil natijalarida signalning umumiy chastotasi xarakteristikasi bo'lishi kerak emas. chastota komponentlari bo'yicha signal energiyasi), shuningdek, chastota komponentlarining ma'lum guruhlari tomonidan namoyon bo'ladigan yoki signalning chastota komponentlarida tez o'zgarishlar yuz beradigan ma'lum mahalliy koordinatalar haqida ma'lumot. Signallarning Furye seriyasiga parchalanishi bilan solishtirganda, to'lqinlar birinchi turdagi uzilishlar (sakrashlar)gacha signallarning mahalliy xususiyatlarini ancha yuqori aniqlik bilan ifodalash imkoniyatiga ega. Furye transformatsiyasidan farqli o'laroq, bir o'lchovli signallarning to'lqinli konvertatsiyasi ikki o'lchovli siljishni ta'minlaydi, chastota va koordinata mustaqil o'zgaruvchilar sifatida ko'rib chiqiladi, bu bir vaqtning o'zida ikkita bo'shliqda signallarni tahlil qilish imkonini beradi.

Turli xil parchalanish (parchalanish) darajalarida signallarni to'lqinli tasvirlashning asosiy va ayniqsa samarali g'oyalaridan biri signalga yaqinlashish funktsiyalarini ikki guruhga bo'lishdir: taxminan - qo'pol, o'zgarishlarning vaqtinchalik dinamikasi ancha sekin va. detallashtirish - silliq dinamika fonida mahalliy va tez o'zgarishlar dinamikasi bilan, keyin ularning parchalanishi va signal parchalanishining boshqa darajalarida detallashtirish. Bu signallarning to'lqinli tasvirining vaqt va chastota sohalarida ham mumkin.

Spektral analiz tarixi I. Bernulli, Eyler va Furyega borib taqaladi, ular trigonometrik qatorlardagi funksiyalarning kengayish nazariyasini birinchi bo‘lib qurganlar. Biroq, bu parchalanish uzoq vaqt davomida matematik qurilma sifatida ishlatilgan va hech qanday fizik tushunchalar bilan bog'lanmagan. Spektral kontseptsiyalardan faqat nazariy fiziklarning nisbatan tor doirasi foydalanilgan va ishlab chiqilgan Biroq, o'tgan asrning 20-yillaridan boshlab, radiotexnika va akustikaning jadal rivojlanishi munosabati bilan spektral parchalanishlar jismoniy ma'noga ega bo'ldi va amaliy qo'llanildi. Garmonik tahlil real fizik jarayonlarni tahlil qilishning asosiy vositasiga aylandi, Furye konvertatsiyasi esa analizning matematik asosi hisoblanadi. Furye konvertatsiyasi ixtiyoriy jarayonni har xil chastotali elementar garmonik tebranishlarga parchalaydi va barcha kerakli xususiyatlar va formulalar bir asosli funktsiya yordamida ifodalanadi.
Ejōt yoki ikkita haqiqiy funksiya
sin (ōt) va cos(ōt)... Garmonik tebranishlar tabiatda keng tarqalgan va shuning uchun Furye konvertatsiyasining ma'nosi matematik analitikadan qat'i nazar, intuitiv ravishda aniq.

Furye konvertatsiyasi bir qator ajoyib xususiyatlarga ega. Transformatsiya sohasi makondi

L2 kvadrat integrallanuvchi funksiyalar va tabiatda kuzatilgan ko'plab real fizik jarayonlarni bu fazoga tegishli vaqt funksiyalari deb hisoblash mumkin. Transformatsiyani qo'llash uchun Fast Furier Transform (FFT) kabi samarali hisoblash protseduralari ishlab chiqilgan. Ushbu protseduralar amaliy matematik dasturlarning barcha paketlariga kiritilgan va turli signal protsessorlarida apparat vositalarida amalga oshiriladi.

Shuningdek, funksiyalarni nafaqat sinus va kosinuslarda, balki boshqa ortogonal bazis sistemalarida ham kengaytirish mumkinligi aniqlandi, masalan, Legendre va Chebishev polinomlari, Lager va Ermit funksiyalari. Biroq, ular faqat yigirmanchi asrning so'nggi o'n yilliklarida kompyuter texnologiyalari va raqamli chiziqli ma'lumotlarni qayta ishlash tizimlarini sintez qilish usullarining rivojlanishi tufayli amaliy qo'llanilishini oldi. Shunga qaramay, to'g'ridan-to'g'ri spektral tahlil maqsadlari uchun bunday ortogonal funktsiyalar olingan natijalarni sharhlashda qiyinchiliklar tufayli keng qo'llanilmagan. Xuddi shu sabablarga ko'ra, spektral tahlilda Haar, Rademaxer, Walsh va Krestensenning "kvadrat to'lqin" tipidagi funktsiyalari ishlab chiqilmagan.

Umumiy shakldagi ortogonal asosiy tizimlarning nazariy tadqiqotlari umumlashtirilgan spektral tahlil nazariyasini yaratishga olib keldi, bu klassik spektral Furye tahlilining amaliy qo'llanilishi chegaralarini baholashga imkon berdi va asosiy tizimlarni sintez qilish usullari va mezonlarini yaratdi. aniq amaliy muammolarni hal qilish uchun.
Umumiy shakldagi ortogonal asosiy tizimlarning nazariy tadqiqotlari umumlashtirilgan spektral tahlil nazariyasini yaratishga olib keldi, bu klassik spektral Furye tahlilining amaliy qo'llanilishi chegaralarini baholashga imkon berdi va asosiy tizimlarni sintez qilish usullari va mezonlarini yaratdi. aniq amaliy muammolarni hal qilish uchun.
Buning misoli 1980-yillarning boshidan faol rivojlanayotgan to'lqinli tipdagi bazis funktsiyalari nazariyasidir. Furye konvertatsiyasidagi "chastota" yondashuviga o'xshash tahlil natijalarini fizik talqin qilishning shaffofligi tufayli to'lqinlarning ortogonal asosi akustika, seysmik, seysmik, statsionar bo'lmagan signallar va tasvirlarni tahlil qilish uchun mashhur va samarali vositaga aylandi. tibbiyot va boshqa sohalar.
To'lqinli tahlil - bu spektral tahlilning bir turi bo'lib, unda oddiy tebranishlar rolini to'lqinlar deb ataladigan maxsus turdagi funktsiyalar o'ynaydi. To'lqinlarning asosiy funktsiyasi - bu "qisqa" tebranish, lekin nafaqat. Klassik spektral tahlil chastotasi tushunchasi bu erda shkala bilan almashtiriladi va butun vaqt o'qini "qisqa to'lqinlar" bilan qoplash uchun vaqt bo'yicha funktsiyalarning siljishi kiritiladi. Shunday qilib
Shunday qilib, to'lqinlarning asosini turdagi funktsiyalar tashkil qiladi Ps (t-ba), qayerda b- siljish,a
- masshtab. Bundan tashqari, to'lqinli bo'lish, funktsiya ps(t) nol maydonga ega bo'lishi kerak va undan ham yaxshiroq, birinchi, ikkinchi va boshqa momentlar nolga teng. Bunday funksiyalarning Furye konvertatsiyasi nolga teng ō=0 va tarmoqli o'tkazuvchi filtr shakliga ega.