16-ma’ruza. Sodda parallel algoritmlar

Gauss algoritmining toʻgʻridan-toʻgʻri qadami. 
Gauss usulining 
toʻgʻridan-toʻgʻri yoʻnalishi yechilayotgan chiziqli tenglamalar 
tizimining tenglamalaridagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻq qilishdan 
iborat. i, 0 <= i tenglamalar uchun noma’lum i ni yoʻq qiladi (ya’ni i uchun ushbu tenglamalardan i qatori doimiy (a
ki
/ a
ii
) bilan koʻpaytiriladi, 
shunda qatorlardagi noma’lum x
i
uchun natija koeffitsienti nolga teng 
boʻladi - barcha kerakli hisob-kitoblarni munosabatlar yordamida 
aniqlash mumkin: 
𝑎
′
𝑘𝑗
= 𝑎
𝑘𝑗
− (
𝑎
𝑘𝑗
𝑎
𝑖𝑖
) ∙ 𝑎
𝑖𝑗
,
𝑏
𝑘
′
= 𝑏
𝑘
− (
𝑎
𝑘𝑗
𝑎
𝑖𝑖
) ∙ 𝑏
𝑖
,
𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1, 𝑖 < 𝑘 ≤ 𝑛 − 1,0 ≤ 𝑖 < 𝑛 − 1
(ta’kidlash kerakki, shunga oʻxshash hisoblar b vektorida amalga 
oshiriladi). 
Keling, Gauss usulining toʻgʻridan-toʻgʻri yoʻnalishini shakldagi 
chiziqli tenglamalar tizimi misolida tushuntirib beraylik: 

---

𝑥
0
+ 3𝑥
1
+ 2𝑥
2
= 1
, 
2𝑥
0
+ 7𝑥
1
+ 5𝑥
2
= 18
, 
𝑥
0
+ 4𝑥
1
+ 6𝑥
2
= 26.
Birinchi iteratsiyada noma’lum x
0
ikkinchi va uchinchi qatorlardan 
oʻchiriladi. Buning uchun ushbu satrlardan 2 va 1 ga koʻpaytirilgan 
birinchi qatorni ayirish kerak. Ushbu oʻzgarishlardan soʻng tenglamalar 
tizimi quyidagi shaklni oladi: 
𝑥
0
+ 3𝑥
1
+ 2𝑥
2
= 1
, 
𝑥
1
+ 𝑥
2
= 16
, 
𝑥
1
+ 4𝑥
2
= 25.
Natijada, oxirgi iteratsiyani bajarish va uchinchi tenglamadan 
noma’lum x
1
ni yoʻq qilish qoladi. Buning uchun ikkinchi qatorni olib 
tashlang va oxirgi shaklda tizim quyidagicha koʻrinadi: 
𝑥
0
+ 3𝑥
1
+ 2𝑥
2
= 1
, 
𝑥
1
+ 𝑥
2
= 16
, 
3𝑥
2
= 9.
15-rasmda Gauss algoritmining oldinga siljishining i-iteratsiyasida 
ma’lumotlar holatining umumiy diagrammasini koʻrsatadi. Asosiy 
diagonal ostida va i ustunining chap tomonida joylashgan noma’lumlar 
uchun barcha koeffitsientlar allaqachon nolga teng. Gauss usulining 
oldinga siljishining i-iteratsiyasida asosiy diagonaldan pastda joylashgan 
i ustunining koeffitsientlari i qatorni kerakli nolga teng boʻlmagan

---