16 – Маъруза. Мавзу: Рационал функцияларни интеграллаш. Содда иррационал ва трансцендент функцияларни интеграллаш

16 – Маъруза.
Мавзу: Рационал функцияларни интеграллаш. Содда иррационал ва трансцендент функцияларни интеграллаш


РЕЖА

1. 
   Рационал функцияларни интеграллаш.
   

2.Иррационал функцияларни интеграллаш.
1. Рационал функцияларни интеграллаш.
Бирор (1)
кўпҳад берилган бўлсин, бунда ўзгармас ҳақиқий сонлар, эса кўпҳаднинг даражаси.

га каср рационал функция дейилади, агар бўлганда тўғри каср, акс ҳолда нотўғри каср дейилади.
Ушбу
(2)
кўринишдаги касрлар содда касрлар дейилади, бунда ҳамда лар ўзгармас сонлар, квадрат учҳад ҳақиқий илдизга эга эмас.
Ҳар қандай тўғри каср (2) содда касрлар орқали ифодаланади.
Агар тўғри каср махражидаги кўпҳад, қуйидаги

кўринишда бўлиб, кўпҳад эса га бўлинмаса, у ҳолда берилган тўғри каср қуйидаги

кўринишда ифодаланиши мумкин, бунда -ўзгармас ҳақиқий сонлар, -кўпҳад.
Агар кўпҳад

кўринишга эга бўлиб ( квадрат учҳад ҳақиқий илдизга эга эмас), кўпҳад га бўлинмаса, у ҳолда берилган тўғри каср қуйидаги кўринишда ифодаланиши мумкин:

бунда -ўзгармас сонлар, -кўпҳад.
Содда касрларнинг аниқмас интегралларини ҳисоблаймиз.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   бу интегрални ҳисоблашда иккита ҳол бўлиши мумкин.
   

а) кавадрат учҳад тўлиқ квадрат бўлса, I-интеграл 1 ва 2 ҳолларга келтирилади.
б) Агар кавадрат учҳад тўлиқ квадратга келмаса, бу ҳолда уни тўлиқ квадратга тўлдириб интеграллаш мумкин.
5-мисол.
, десак

Изоҳ: Маълумки, элементар функциянинг ҳосиласи яна элементар функция бўлар эди, лекин интеграл олиш учун бу тасдиқ ўринли бўлиши шарт эмас, яъни баъзи бир элементар функцияларнинг интеграллари элементар функция бўлмай қолиши мумкин. Масалан, Ушбу
1. 2.
3. 4.
5. 6.
интегралларнинг ҳар бири элементар функциялар ёрдамида ифодаланмайди.Бу функциялар амалиётда кўп учраганлиги сабабли уларнинг қийматларини ҳисоблаш учун алоҳида жадвал тузилган ва уларнинг графиклари ясалган. Шу йўл билан элементар функцияларда интегралланмайдиган функциялар ҳам тўла ўрганилган.
2. Иррационал функцияларни интеграллаш.
Куп холлар ирационал ифодалар катнашган интегралларни урнига куйиш усули билан рационал (хусусан рационал каср катнашган) интегралга келтиради.
Ушбу R(х, х^, х^, ...) функиця х, х^, х^,... ни караймиз. Бунда R(х, х^, х^,...) функция х, х^, х^,... ларнинг рационал функцияси. Бу ерда = ,  , ... рационал сонлар булиб, к уларнинг умумий махражи булса, у холда х=t^k адмаштириш ёрдамида юкоридан интеграл рационал функцияни интеграллашга келади.
Ушбу R (х, (ах+b)^, (ах+b)^,...)dх; R (х, ( )^, ( )^,...)dх, интегралар эса ах+b=t^k, =t^k алмаштириш ёрдамида рационал функцияни интеграллашга келади.
Мисол.
Ечиш. х=t⁶ алмаштиришни бажарамиз. dx=6t⁵dt булади.
Демак. = = dt= dt= t=6dt- =6(t-arctgt)+c=6( -arctg )+с
Бевосита интеграллаб топиладиган иррационал интеграллар, уларни =arcsin +с ва ln(u+ +c каби жадвални иррационал интеграллрага келтириб ёки тугридан-тугри топилади.
Масалан:
1.
2.







































текшириш учун саволлар

1. 
   Кандай рационал каср тугри каср дейилади?
   
2. 
   Кандай рационал каср нотугри каср дейилади?
   
3. 
   I ва II турдаги содда касрлар кандай интегралланади?
   
4. 
    R (sinx, cosx) dx куринишдаги интегралларни топиш усулларини курсатинг, бунда R рационал функция.
   
5. 
    Sinⁿxcos^mx dx куринишдаги интегралларни топиш усулларини курсатинг