16- маъруза Функционал қаторлар

• 16– Маъруза

• Функционал қаторлар

• Текис яқинлашиш тушунчаси

• Вейерштрасс аломати

• Яқинлашиш соҳаси

• Ҳадлари функциялардан иборат бўлган қатор
• функционал қатор дейилади.

• Бу ерда
• Функцияларнинг ҳаммаси бирор чекли ёки чексиз
• интервалларда аниқланган ва узлуксиз.

• (1)

• Функционал қаторнинг ҳадлари сонлардан иборат бўлиб қолса, бундай функционал қатор сонли қатор дейилади. Сонли қаторлар функционал қаторнинг хусусий ҳоли экан .

• х ўзгарувчига қийматларни бериб ҳар хил сонли қаторлар ҳосил қилишимиз мумкин.

• бўлса, (1) қатор
• нуқтада яқинлашувчи дейилади, акс ҳолда (1) қатор нуктада узоқлашувчи дейилади.

• (2)

• х ни қийматларига қараб (2) қаторлар
• яқинлашувчи ёки узоқлашувчи бўлади

• Агар D соҳадан олинган барча х ( ) лар
• учун (1) функционал қатор яқинлашувчи бўлса, унда соҳа (1) функционал қаторнинг
• яқинлашиш соҳаси дейилади, яъни

• Агар (1) қатор нуқтада яқинлашувчи бўлса,
• унда сон (1) қаторнинг нуқтадаги йиғин-диси дейилади

• шарт бажарилади.

• бўлса (1) яқинлашувчи бўлади.

• бўлсин, у ҳолда

• Функционал қаторларнинг текис яқинлашиши

• Таъриф:

• Агар сон учун барча
• ва ихтиёрий нуқталар учун
• тенгсизлик бажарилса, у ҳолда (1) функционал қатор соҳада текис яқинлашувчи дейилади

• Функционал қаторнинг текис яқинлашиши тушунчаси кучли тушунчадир. Агар қатор текис яқинлашса унда уни яқинлашиши умуман олганда таъминланади. Лекин қаторнинг яқинлашишидан ҳамма вақт текис яқинлашиш келиб чиқавермайди.

• (1)

• (2)

• Агар
• функционал қаторнинг ҳар бир ҳади соҳада абсолют қиймати бўйича бирор яқинлашувчи мусбат ишорали
• сонли қаторнинг мос ҳадларидан катта бўлмаса, яъни бўлса, у ҳолда берилган (1) функционал қатор кўрсатилган соҳада текис яқинлашувчи бўлади.

• Қатор текис яқинлашишининг

• Вейерштрасс аломати

• соҳада текис яқинлашувчи бўлган ( ).
• (2)–қаторга (1)-функционал қаторнинг мажорант
• қатори дейилади.

• Текис яқинлашувчи қаторнинг хоссалари

• (1) функционал қатор cоҳада яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси бўлсин (cоҳа дан иборат).

• 1). Агар (1)- функционал қаторнинг ҳар бир ҳади соҳада узлуксиз бўлиб, бу функционал қатор да текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда қаторнинг йиғиндиси ҳам соҳада узлуксиз бўлади.

• 2). Агар (1)- функционал қаторнинг ҳар бир
• ҳади, соҳада узлуксиз ҳосилага эга бўлиб, бу ҳосилалардан тузилган
• функционал қатор соҳада текис яқинлашувчи бўлса у ҳолда (1) -қаторнинг
• йиғиндиси шу соҳада ҳосилага эга

• бўлади.

• ва

• 3) Агар (1) қаторнинг ҳар бир ҳади соҳада узлуксиз бўлиб, функционал қатор шу сигментда текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда

• (3)

• (4)

• қатор ҳадларининг интегралларидан тузилган

• қатор яқинлашувчи бўлади ва унинг йиғиндиси

• га тенг бўлади.

• (5)

• (6)

• 17–Мавзу

• Даражали қаторлар

• Абелъ теоремаси

• Даражали қаторларнинг яқинлашиш
• радиуси ва интервали

• Яқинлашувчи даражали қаторнинг
• хоссалари

• Таъриф:

• Даражали қатор деб

• кўринишдаги функционал қаторга айтилади.

• да

• кўринишдаги х нинг даражалари бўйича ёйилган
• даражали қаторга эга бўламиз.

• Бу ерда лар ўзгармас сонлар
• бўлиб, уларга даражали қаторнинг коэффи-
• циентлари дейилади.

• (1)

• (2)

•