16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

17-§. Kichik parametrlar usuli
1. Quyidagi

(1)

Koshi masalasining yechimini orqali belgilaylik.

Aytaylik, ushbu

(2)

Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’lsin. U holda quyidagi tasdiq o’rinli.

Teorema-1. Agar yetarli kichik son bo’lsa, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun (1) masalaning yechimi mavjud bo’lib, ixtiyoriy larda quyidagi

(3)

yoyilma o’rinli bo’ladi. Bu yerda qoldiq had ushbu

(4)

tengsizlikni qanoatlantiradi. –o’zgarmas soni larga bog’liq emas.

Isbot. Ushbu funksiyani ma’lum deb qaraymiz. U holda (3) yoyilmani qolgan hadlarini qanday aniqlash mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun (3)

yoyilmani (1) differensial tenglamaga qo’yib

(5)

munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglikning o’ng tomonidagi funksiyani parametrning darajalari bo’yicha aniqlikgacha yoysak, u holda ga nisbatan (2) Koshi masalasi hosil bo’ladi. –uchun

(6)

Koshi masalasi hosil bo’ladi. Bu esa birinchi tartibli differensial tenglamadir. Shuning uchun uning yechimi oraliqda mavjud va yagona. Qolgan barcha hadlar uchun ham quyidagi

(7)

chiziqli differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bunda –ma’lum funksiyalar. Bu differensial tenglamalar bir-biridan faqat o’ng tomoniga farq qiladi. (7) ko’rinishdagi Koshi masalalarining har birisining oraliqda aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo’lib, u -cheksiz differensiallanuvchi funksiyadan iborat bo’ladi.

2. Endi, ushbu

(8)



ko’rinishdagi Koshi masalasini qaraylik. Bunda va oraliqda berilgan uzluksiz funksiya.

Berilgan (8) Koshi masalasining yechimini orqali, bo’lgan holdagi yechimini esa orqali belgilaylik. U holda funksiyaning dagi limiti funksiyaga oraliqda yaqinlashishi mumkinligini o’rganamiz.