15-mavzu. Egrilik (dyupen) indikatrisasi. Eyler formulasi. Bosh yo’nalishlar

Download 67,51 Kb. bet 3/4 Sana 09.05.2023 Hajmi 67,51 Kb. #936611

Bog'liq
15-mavzu. Egrilik (dyupen) indikatrisasi. Eyler formulasi. Bosh

Bu sahifa navigatsiya:

• DYUPEN INDIKATRISASI.

3- bosqich Yakuniy	3.1. Mavzuga yakun yasaydi va talabalar e’tiborini asosiy masalalarga qaratadi.Faol ishtirok etgan talabalarni rag’batlantiradi. Mustaqil ish uchun vazifa: “ Egrilik indikatrisasi” so’ziga klaster tuzishni vazifa qilib beradi, baholaydi.
3.1. Eshitadi aniqlashtiradi. 3.2. Topshiriqni yozib oladi.

DYUPEN INDIKATRISASI.
Sirt ustidagi 0 nuqtani koordinata boshi va bu nuqtadagi urinma tekislikni (xu) tekisligi sifatida kabul kilamiz. U holda bizga ma’lumki, 0 nuqta atrofida sirt tenglamasi
z= (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)+(x,y)(x²+y²)
ko’rinishda bo’ladi.
Yopishma paraboloid tenglamasi esa
z= (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)
va Dyupen indikatrisasi
(f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)=1
ko’rinishda bo’ladi.
Yuqoridagi tenglamalardan shu narsa ko’rinadiki, sirt va uning yopishma paraboloidining 0 nuqtadagi birinchi va ikkinchi kvadratik formulalari bir xil, ya’ni
ds²=dx²+dy²
=f_xxdx²+2f_xydxdy+f_yydy²
bu yerda  orqali 2-kvadratik formani belgiladik.
Bundan sirt va uning yopishma paraboloidining bir xil yo’nalishdagi normal egriliklari o’zaro teng, ya’ni
k_n= (1)
Endi Dyupen indikatrisasini ko’ramiz. Q(x,y) indikatrisaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. 0Q yo’nalish bo’yicha X,Y koordinatalarga boglik bo’lgan normal egrilik uchun ifodani topamiz. (1) tenglikda dx:dy=x:y ekanini e’tiborga olib x va y o’zgaruvchilarga o’tamiz, ya’ni
k_n= (2)
Q nuqta indikatrisada yotgani uchun (2) tenglikning surati 1 ga teng. Maxraji esa 0Q² ga teng. Bundan
k_n=  (3)
(3) formula indikatrisa bilan normal egrilik orasidagi boglanishni ifodalaydi.
Shuningdek (3) dan foydalanib quyidagi ikkita mu’im xulosani kilamiz;
1) Asimptotik yo’nalish bo’yicha sirtning normal egriligi 0 ga teng;
2) Sirtning normal egriligi bosh yo’nalishlar bo’yicha o’zining ekstremal kiymatlariga erishadi.
Yuqorida ko’rib o’tilgan sirt ko’shma yo’nalishlar tushunchasi Dyupen indikatrisasi bilan boglikdir. Shu munosabat bilan sirtning u,v parametrlari bilan uzviy boglangan kiyshik burchakli x,y,z koordinat sistemasida sistemasida yopishma paraboloid va Dyupen indikatrisasining tenglamalarini topamiz. Shuning uchun o’klar bo’yicha bazis vektorlar sifatida r_u, r_v va n vektorlarni olamiz. Aytaylik, sirtning 0 nuqtasiga parametrlarning u=u₀, v=v₀ kiymatlari mos kelsin. Sirt tenglamasini 0 nuqta atrofida quyidagicha yozishimiz mumkin, ya’ni
r=r_u(u-u₀)+r_v(v-v₀)+ r_uu(u-u₀)²+2r_uv(u-u₀)(v-v₀)+ r_vv(v-v₀)²+
+(u,v)[(u-u₀)²+(v-v₀)²]
Shu narsani aytish mumkinki, tenglamasi
z= (Lx²+2Mxy+Ny²)
bo’lgan paraboloid sirtning 0 nuqtasidagi yopishma paraboloiddan iborat bo’ladi. Haqiqatan ham, uni quyidagi
x=(u-u₀)
y=(v-v₀)
z= (L(u-u₀)²+2M(u-u₀)(v-v₀)+N(v-v₀)²)
parametrik tenglama bilan berish mumkin.
Sirt bilan bu paraboloidning 0 nuqtasidagi 1-va2- kvadratik formalari bir xildir, shuningdek ularning normal egriliklari xam bir xildir.
Yopishma paraboloid tenglamasidan Dyupen indikatrisasining tenglamasini olishimiz mumkin, ya’ni
Lx²+2Mxy+Ny²=1
Ma’lumki, dx:dy yo’nalish bilan x:y yo’nalishlarning bu egri chiziqka nisbatan ko’shma yo’nalishlari bo’lish sharti
Ldxx+2M(dxy+dyx)+Ndyy=0
Tenglik bilan ifodalanadi.
0 nuqtada dx=du, dy=dv, x=u, y=v bo’lgani uchun oxirgi tenglik
Lduu+2M(duv+dvu)+Ndvv=0
ko’rinishni oladi.
Ta’rif. Agar koordinat chiziqlarning har bir nuqtasidagi yo’nalishi ko’shma yo’nalishlar bo’lsa, u,v koordinat turi ko’shma deyiladi.
Ta’rifdan agar koordinat turi ko’shma bo’lsa, M=0 bo’ladi va aksincha M=0 bo’lsa, koordinat turi ko’shma bo’ladi.

Download 67,51 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: