15-ma’ruza chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning oddiy iteratsiya va Zeydel usullari. Iteratsion jarayon yaqinlashishining zaruriy shartlari

¹⁵-MA’RUZA


Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning oddiy iteratsiya va Zeydel usullari. Iteratsion jarayon yaqinlashishining zaruriy shartlari.
Reja:

1. 
   Oddiy iteratsion usul.
   
2. 
   Zeydel usuli.
   
3. 
   Usullarning ishchi algoritmlari.
   
4. 
   Gauss – Zeydelning iteratsiya usuli
   

ITERATSION USULLARNING UMUMIY XARAKTERISTIKASI

Yuqorida qayd etilganidek, iteratsion usullar tizimning izlangan x echimiga yaqinlashadigan y₀, y₁, y₂, … iteratsion ketma-ketliklarni kurishga asoslangan. Har bir shunday usul navbatdagi y_k+1 yaqinlashishni avvalgilari yordamida hisoblashga imkon beradigan iteratsion formulalar bilan xarakterlanadi. Eng sodda xolda y_k+1 ni hisoblashda faqat bitta avvalgi y_k iteratsiyadan foydalaniladi. Bunday usullar bir qadamli deyiladi. Bir qadamli usullar uchun iteratsion formulani quyidagi

_B ^yk 1 ^{ y}k k 1 _{ k 1}

• 
  Ay _k  f
  

(1.1)

standart kanonik ko`rinishda yozish qabul kilingan; bunda <sub>k+1</sub> - iteratsion parametrlar (<sub>k+1</sub>>0), B<sub>k+1</sub> – yordamchi maxsusmas matritsalar. Agar  va B lar k+1 indeksga bog’liq bo`lmasa, ya`ni (1.1) formula ixtiyoriy k lar uchun bir xil ko`rinishga ega bo`lsa, u xolda bu iteratsion usul s t a t s i o n a r u s u l deyiladi. Statsionar usullar hisob-lash jarayonini tashkil etish nuqtai nazaridan soddadir. Ammo nostatsionar usullar boshqa ustunliklarga ega: ular {_k+1}, {B_k+1} ketma- ketliklarni tanlash bilan boglangan kushimcha «erkinlik darajasiga» ega. Bundan y_k iteratsiyalar tizimning x echimiga yaqinlashish tezligini oshirishda foydalanish mumkin.
(1.1) iteratsion formula yordamida navbatdagi y_k+1 yaqinlashishni topish
ushbu
B_k+1 y_k+1 = F_k+1 (1.2)
tenglamalar tizimini echishni talab etadi. Bunda
^Fk+1 ^{= (B}k+1 ^{- }k+1 ^{A) y}k ^{+ }k+1 ^f
Shunday hisoblashni kar bir qadamda bajarishga turri keladi. B_k+1 matritsa sifatida birlik B_k+1 = E matritsa olsak, iteratsion ketma-ketlik xadlarini hisoblash uchun eng sodda tarxga ega bula-miz. Bu xolda (1.1) formula ketma-ketlikning navbatdagi y_k+1 xadini uning avvalgi y_k xadi orqali oshkor ifodalash imkonini beradi:
y_k+1 = y_k - _k+1 A y_k+1 + _k+1 f (1.3) Ana shunday rekkurent formulaga asoslangan iteratsion usullar oshkor usullar deyiladi.

Oshkormas usullar (B_k+1 E orasida B_k+1 matritsani uchburchakli kilib tanlanadigan usullar eng ko`p tarqalgan. Bu kolda navbatdagi y<sub>k+1</sub> iteratsiyani topish uchun y<sub>k+1</sub> ning komponentlarini (1.2) uchburchakli tizimdan birin-ketin Gauss usulining teskari yurishiga kilinganidek topishga keltiriladi.
Qandaydir iteratsion usulning qo`llanishi {y_k} ketma-ketlik tizimning x
echimiga yaqinlashishni bildiradi:

lim y_k  x
k
(1.4)

(1.4) tenglik quyidagini anglatadi:

y^{k }  x ²  y^{k }  x ...  y^{k }  x
 0

(1.5)

₁ 1 ₂ 2 n n

(1.5) dan kurinadiki, u vektorlar ketma-ketligining x vektorga yaqinlashishining zaruriy va etarli sharti kar bir komponentning yaqinlashuvchiligidan iborat:

lim
k 
y ^{k }  x_i ,
i  1,2,..., n

1
Ushbu ayirma z_k = y_k - x xatolik deyiladi. y_k ni y_k = x + z_k ko`rinishda yozib va (1.1) ga kuyib, xatolik uchun,

^Bk 1
^zk 1 ^{ z}k
^ k 1

• 
  Az _k  0
  

(1.6)

iteratsion formulami hosil kilamiz. (1.1) dan farqli ularok, u tizimning ung tomoni
(f) ni o`z ichiga olmaydi, ya`ni bir jinslidir. (1.4) yaqinlashishni talab etish z_k ning nolga intilishi lozimligini anglatadi:

lim z_k  0
k
(1.7)

Har bir iteratsion usul yaqinlashuvchiligining etarlilik shartlari A, B_k+1 matritsalar va _k+1 iteratsion parametrlar kanoatlantirishi lozim bo`lgan ko`rinishda ifodalanadi. Ulardan ba`zilarini, ayniksa, iteratsion parametrlarni optimal tanlashga oid shartlarni tekshirish kiyin. Natijada hisoblashlarni bajarayotganda iteratsion parametrlarni ko`pincha tajriba yuli bilan (empirik) tanlashga turri keladi.