15 Маъруза Чегаравий масалаларни ечиш усуллари

Айирмали метод; чизикли масала

Айирмали методни, энг содда иккинчи тартибли чизикли дифференциал тенглама учун куйилган чегаравий масала мисолида караймиз:

_(1)
(2)
[a,b] кесамада турни караймиз. Соддалик учун бу турни текис деб хисоблаймиз. Иккинчи тартибли хосилани ечимнинг тур нукталаридаги u_n=u(x_n) кийматлари оркали ифодалаймиз; энг содда

аппроксимациядан фойдаланамиз:
Бундай аппроксимацияни хар бир x_n; n=1,2,...,N-1 , ички нукта учун ёзиш мумкин. Агар буни (1)-тенгламадаги иккинчи тартибли хосила урнига куйсак унда тенглама такрибий булиб, уни кидирилаетган u(x) ечим эмас, балки такрибий ечим каноатлантиради. Бу алмаштиришни бажариб , p_n=p(x_n), f_n=f(x_n) белгилашларни кабул килсак
₍₃₎
тенгликларга эга буламиз. Бу N-1 та алгебраик тенгламадан иборат булган системадир. Номаълумлар сони N+1 та , яъни номаълумлар сони тенгламалар сонидан купдир. Иккита етмайдиган тенгламани (2) чегаравий шартлардан хосил киламиз.
₍₄₎

(3) - алгебраик системани ечиб, такрибий ечимни топамиз.

Бунда учта савол тугилади:
1) (3) – куринишли системанинг ечими мавжудми?
2) агар ечим мавжуд булса, уни кандай топиш керак?
3) u(x) ечимга исталганча якин булган y(x) такрибий ечимни топиш иложи борми?
Энг аввал айирмали ечимнинг мавжудлигини текширамиз.
p(x)>0 деб талаб киламиз. (1)-масала чизикли булганлиги учун, айирмали аппроксимация хам чизикли булди. Шунинг учун (3)- система чизикли алгебраик тенгламалар системасидан иборат булди. p_n>0 булганлиги учун, бу системанинг матрицаси диагонал элементлари абсолют киймати шу элемент турган сатрдаги бошка элементлар абсолют кийматлари йигиндисидан катта булади. Бундай системанинг ечими мавжуд ва ягона булиши маълум.
Системанинг матрицаси уч диагоналли булганлиги учун уни прогонка усули билан ечиш самарали.
µуйидаги теорема уринли.
Теорема. Агар p(x) ва f(x) иккинчи тартибли узлуксиз хосилага эга булсалар унда айирмали ечим ,аник ечимга интилади ва хатолик O(h²)каби булади.
Исбот. Теореманинг шартларидан u(x) туртинчи тартибли узлуксиз хосилага эга эканлиги келиб чикади.
Унда

муносабат уринли булади.

Бундан, аник ечим

айирмали тенгламани каноатлантириши келиб чикади..
Бу тенгламадан (3) -тенгламани айириб, z_n=u_n-y_n хатоликни каноатлантирадиган

(6)
тенгламаларни хосил киламиз.
|z_n| максимумга эришадиган нуктани танлаб оламиз; бунинг чегаравий нукта эмаслиги маълум. p_n>0 шартни инобатга олиб бу нуктада (5) - тенгликнинг чап ва унг томонларининг абсалют кийматларини таккослаб,

тенгсизликка эга буламиз. Бунинг унг томонидаги ва ларни га алмаштирсак

тенгсизлик хосил булади. Бу тенгсизлик теорема тасдигини исбот килади.


Айирмали метод; чизиклимас масала

Энди умумийрок холни караймиз.Чизиклимас масалалар анчагина кийинчиликларни тугдиради.

₍₁₎
биринчи жинс чегаравий шартлар билан берилган чизиклимас, иккинчи тартибли дифферанциал тенгламани караймиз. f(x,u) иккинчи тартибли узлуксиз хосилага эга булсин деган талабни куямиз. Унда u(x) функциянинг туртинчи тартибли хосиласи узлуксиз булади.

килиб белгилаймиз.
Юкоридагидек [a,b] кесмада текис турни аниклаб иккинчи тартибли хосилани чекли айирма билан алмаштирамиз.
Унда
₍₂₎

чизиклимас алгебраик тенгламалар системасига эга буламиз. Айирмали ечимнинг аник ечимга якинлашишини исбот киламиз, бунинг учун f_u>m₁>0 деб фараз киламиз. Иккинчи хосиланинг аппроксимацияси учун

муносабат уринли булгани учун, аник ечим


айирмали тенгламаларни каноатлантиради.
Бу тенгламаларни (2) - тегламалардан мос равишда айириб хатолик учун
₍₃₎


тенгламалар системасини хосил киламиз.
Бу ерда максимумга эришадиган нукта булсин. Бу нуктада (3) муносабатни

тенгсизлик шаклида ёзамиз. ´нг томондаги ва ни га алмаштириб бу тенгсизликни яна хам кучайтириб

₍₄₎
бахони хосил киламиз.
Бу бахо, айирмали ечимнинг аник ечимга иккинчи тартиб билан текис якинлашишини билдиради.
Айирмали ечимни топиш билан шугулланамиз.
(2) - системани итерация методи ёрдамида ечиш мумкин. Масалан
(5)

бу ерда s - итерация номерини белгилайди. Итерацион усулни кулласак итерациянинг хар бир кадамида уч диагоналли чизикли тенгламалар системаси хосил булади. Бу системани прогонка методи ёрдамида ечиш мумкин. (5) - итерация методининг якинлашишини текширамиз.
- итерация хатолиги, (2) -ни (5)-дан айиришдан хосил буладиган
(6)


тенгламани каноатлантиради.
Бу системани прогонка методи ёрдамида ечамиз. Бу система учун прогонка коэффициентларини топиш реккурент формулаларини



шаклда ёзиш мумкин.
Прогонканинг тескари харакат формулалари
₍₇₎
шаклда ёзилади.
Булар изланаётган ечим буладилар. (6)-системанинг тенгламаларини унг томонлари учун


_,
тенгсизликлар бажарилади.
Буларни (7)-га куйиб

бахога эга буламиз.
Бундан


₍₈₎
бунда

хосил булади.
Бу бахо итерация методининг

шарт бажарилганда якинлашишини курсатади. Якинлашиш чизикли эканлиги куриниб турибди ( нинг биринчи даражаси каби).

(2)системани Ньютон методи ёрдамида ечиш максадга мувофикдир. Тенгламаларнинг унг томонларини чизикли функцияга алмаштириб куйидаги формулаларни ёзиш мумкин:



Бу системани хам прогонка методи ёрдамида ечиш мумкин.


Таянч иборалар :

Системани интеграллаш .

Отишма методи .
Айирмали метод .
Прогонка методи .
Тургунлик .
Айирмали ечим .
Синов саволлар :

Системани интеграллаш нима ?

Чегаравий масалани ечишнинг кандай усулларини биласиз .
Отишма методининг гояси нимадан иборат ?
Айирмали методнинг мохияти нимадан иборат ?


Адабиётлар :

Самарский А.А. ГулинА.В. Численные методы М Наука 1989 г.

В.Н. Крылов , В.В. Бобков , Т.Н. Монастырский , Вычислительная математика , Ук.Кул ., Икки жилдли , М., 1980 .