14-mavzu 14- ma’ruzalar

3-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni

.

1-natija. O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni

.

2-natija. O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni

,

3-natija. Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni

,

4-teorema. Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni

, .

5-teorema. Agar nuqtaning biror atrofidagi barcha uchun tengsizlik bajarilsa va funksiyalar da limitga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

6-teorema. Agar nuqtaning biror atrofidagi barcha uchun tengsizlik bajarilsa va bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

7-teorema. bo‘lsin. U holda:

1) agar ( ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha uchun bo‘lsa, bo‘ladi;

2) agar ( ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha uchun bo‘lsa, bo‘ladi.

8-teorema. Agar bo‘lsa, u holda nuqtaning yetarlicha kichik atrofidan olingan qiymatlarda funksiya chegaralangan bo‘ladi.

Isboti. Shartga ko‘ra . Funksiya limitining Koshi ta’rifiga ko‘ra son uchun shunday son topiladiki, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida , ya’ni tengsizlik bajariladi. Demak, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida ( oraliqda) funksiyaning qiymatlari oraliqda bo‘ladi. Bu funksiyaning oraliqda chegaralanganligini bildiradi.

9-teorema. Agar: 1) va nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lsaki, bu atrofdan olingan barcha lar uchun bo‘lsa, 2) nuqta to‘plamning limit nuqtasi va bo‘lsa, u holda da murakkab funksiya limitga ega va bo‘ladi.

Yuqorida keltirilgan teoremalar da ham o‘rinli bo‘ladi.

Misollar

1. ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun son olamiz. sonini shunday tanlaymizki da bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.

Bundan Agar deb olsak, da bo‘ladi.

Demak,

.

2. limitni topamiz. Bu limit uchun ikki funkksiya bo‘linmasining limiti haqidagi teoremani qo‘llab bo‘lmaydi, chunki da kasrning maxraji nolga teng bo‘ladi. Bundan tashqari suratning limiti nolga teng. Bunday hollarda ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan deyiladi. Bu aniqmaslikni ochish uchun kasrning surati va maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz va kasrni ( , lekin ga bo‘lib, topamiz:

3. limitni topamiz. da ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. Kasrning surat va maxrajini yuqori darajasiga, ya’ni ga bo‘lib, topamiz:

Ajoyib limitlar

Birinchi ajoyib limit : .

Isboti. bo‘lsin.

Radiusi ga teng bo‘lgan aylananing radian o‘lchovi ga teng bo‘lgan markaziy burchagiga mos yoyini qaraymiz (23-shakl).

Shakldan quyidagilarga ega bo‘lamiz:

Bundan kelib chiqadi. Tengsizlikni ga bo‘lamiz:

yoki .

Endi bo‘lsin.

, ekanidan da ham

.

, dan 6-teoremaga ko‘ra

.

Misol

limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan. Almashtirishlar bajaramiz:



da va ajoyib limitga ko‘ra

Demak,

Ikkinchi ajoyib limit :

Isboti. Ma’lumki, .

bo‘lsin. deb olamiz. U holda , bu yerda

tengsizlikdan topamiz:

yoki

.

da . U holda



.

Bundan 6-teoremaga ko‘ra

kelib chiqadi.

Endi bo‘lsin. deb olamiz.

U holda

Demak,

.

Misol

limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan.

Qavs ichidagi kasrning butun qismini ajratib, almashtirishlar bajaramiz:

.

da bo‘lgani sababli 2-ajoyib limitni qo‘llab, topamiz:



ekanidan .